高考考纲与考向分析——直线、平面平行的判定及其性质

「高中数学34」期末复习阶段，如何学习才能“承二启三”？

“平行平面”+“相交平面”——玩转空间几何线面平行问题

引子：

空间立体几何题几何法主要分三类：1、求平行关系（线线平行，线面平行和面面平行）；2、求垂直关系（线线垂直、线面垂直，面面垂直）；3、求任意关系（线线角、线面角、面面角）。今天我们运用作已知直线的“平行平面”+或者作已知直线的“相交平面”的 *** 简捷明快解答空间立体几何线面平行题最迅捷实用。

游戏规则介绍：

平行关系：两个事物没有交点，在空间几何里比如线线平行是指两条直线在同一平面内没有交点（在空间内也可能是异面关系）；线面平行是指一条直线和一个平面没有交点；面面平行是指两个平面没有交点等等。

相交关系：两个事物有交点，在空间几何里比如线线相交是指两条直线有交点形成一个平面；线面相交是指一条直线和一个平面有交点，而且只有一个交点；面面相交是指两个平面有交点，且相交于一条直线等等。

（备注）：表面上看，平行关系和相交关系是相反的，互斥的关系，事实上却是相辅相成，互为依托的。

游戏开始：

之一步：理论分享与证明

1、线面平行，面面平行的性质

线面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（相交平面+平行交线）

理论运用：

过已知做一个平面与已知平面相交，则已知直线与交线平行。

面面平行的性质：

如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（平行平面+全面性）

理论运用：

若两个平行平行，一个平面所有内直线平行另一个平面。即若能过已知直线作一个平面平行已知平行，则已知直线平行已知平面。

已知：直线A’D’和平面ABCD。

*** ：过直线A’D’做一个平面PQA’D’，若平面PQA’D’∥平面ABCD，则直线A’D’∥平面ABCD。（平面PQA’D’里所有直线平行平面ABCD）

下图是平面PQA’D’与平面ABCD相交于180°时的图像（即平面PQA’D’∥平面ABCD）。

2、线面平行，面面平行的判定

线面平行的判定定理：

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（平行直线+相交平面）

理论运用：

过已知做一个平面与已知平面相交，交线平行已知直线，则已知直线平行已知平面。

已知：直线A’D’和平面ABCD。

*** ：过直线A’D’做一个平面PQA’D’，与已知平面相交于直线A’’D’’；若A’’D’’∥A’D’。则直线A’D’∥平面ABCD。

下图是平面PQA’D’与平面ABCD相交于20°时的图像。

下图是平面PQA’D’与平面ABCD相交于90°时的图像。

下图是平面PQA’D’与平面ABCD相交于150°时的图像。

下图请欣赏：平面PQA’D’与平面ABCD相交于的动态图

解注：

过已知直线做相交平面与已知平面相交，若交线平行已知直线，则该直线与已知平面平行。即A’’D’’∥A’D’。则直线A’D’∥平面ABCD。

面面平行的判定定理

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。

理论运用：

过一个组相交直线（组成相交平面）分别在已知平面内作已知直线的平行直线，则该相交平面平行已知平面。

第二步：高考真题分享

1、【2019全国一文】

如下图，直四棱柱ABCD-A1B11CD1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E、M、N分别是BC、BB1，A1D的中点。

⑴证明：MN∥平面C1DE；

⑵求点C到平面C1DE的距离。

分析：

从已知可知，需要证明MN∥平面C1DE，只有两种 *** ，要么过MN作相交平面，要么过MN作平行平面。因为过 M、N分别做平面C1DE的平行线不是很方便，且面A1MN与面C1DE有交点D，故考虑过MN作相交平面。

解：

连接A1M且延长，同时延长线段AB交A1M点G，连接DG，则DG是新作平面A1MN与已知平面C1DE的交线。若MN∥DG，则MN∥平面C1DG。

证明：

∵ M是BB1的中点，A1B1∥AB ∴ B是AG的中点。

同理：

∵ B是AG的中点，A1B1∥AB ∴ M是A1G的中点。

∵ N是A1D的中点； ∴ MN是△A1DG的中位线 ∴ MN∥DG

∵ B是AG的中点，BC∥AD，BC=AD ∴ BC与DG的交点是DC的中点

∵ E是DC的中点 ∴ DG通过点E。 ∴ MN∥DE

∴ DE?平面C1DE ∴ MN∥平面C1DE

命题得证！

下图请欣赏：过已知直线MN作已知平面C1DE的相交平面A1DG的动态图

2、【2016全国三文】

如图,四棱锥 P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC， AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M是线段AD上一点，AM=2MD，N是PC的中点。

⑴证明：MN∥平面PAB；

⑵求四面体N-BCM的体积。

分析：

从已知可知，需要证明MN∥平面PAB，只有两种 *** ，要么过MN作相交平面，要么过MN作平行平 面。因为过 M、N的平面与平面PAB没有比较容易找的交线，故考虑过MN作平行平面。

解：

过M作MG∥AB交BC于G，连接NG（此时需要证明NG∥PB，或者再作NG’∥PB交BC于G’,证明G与G’重合），此时若平面PAB∥平面MNG，则MN∥平面C1DG。

证明：

∵ MG∥AB 且BC ∥AD ∴ BG=AM

∵ AD=3, AM=2MD ∴ AM=2 ∴ BG=AM=2

∵ BC=4 ∴ G是BC的中点

∵ N是PC的中点 ∴ MG是△PBC的中位线 ∴ NG∥PB

∵ MG∥AB ∴ 平面GMN∥平面PAB

∴ MN?平面GMN ∴ MN∥平面PAB

命题得证！

下图请欣赏：过已知直线MN作已知平面PAB的平行平面MNG的动态图

第三步：小结

线面平行是一个很重要的概念，通过线面平行能得到线线平行，也能通过线面平行得到面面平行。可以说，线面平行是线线平行与线面平行的纽带。从理论分享和高考真题分享得知，证明线面平行的 *** 有且仅有两个：过已知直线作已知平面的相交平面或者作已知平面的平行平面，即作“平行平面”+“相交平面”能完美解答线面平行的问题。若过已知直线的平面与已知平面有交点，且交线容易找到，则作已知平面的“相交平面”；反过来，若交线不容易找到，得考虑作“平行平面”。二选一的必选题，希望对神兽们有帮助。

第四步：游戏结束！

31日教育热点回顾：高考立体几何之空间中的平行关系，涵盖所有题型及解答 ***

高考立体几何之空间中的平行关系，涵盖所有题型及解答 ***

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．。 *** 技巧：平行关系的证明。无论是线面平行还是面面平行，归根结底还是线线平行的证明，线线平行的证明在高考设问中一般有以下几个方向。很典型的一个高考题，当年很多同学选择错误，因为很多同学完全凭眼睛直观地去看，导致错误。这里只需作一些简单的辅助线就可以快速判断出来：1.面面平行2.不是中位线3.延展平面3.平行转化。

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平移旋转在几何证明中的应用，掌握这些典型几何题型秒变学霸

图形平移扩展：在平面内，将一个图形沿某个方向，移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。１．如图长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，根据图中的标注的数据，求空白部分的面积．。二：图形旋转扩展在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度。

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你最常犯的语法错误：主谓一致的就近原则（6=1+2+3）

1个人称代词作主语时的主谓一致跟汉语一样，英语也分之一人称。并列的两个词作主语时的主谓一致当有一前一后两个主语时，谓语如果跟离它近的主语保持一致，就是就近原则。如果跟离它远的主语保持一致，就叫就远原则或就前原则。就近原则的6种标志词=1+2+3。我们这节课讲解的其实是主谓一致四大原则中的语法一致原则和就近原则。

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1张思维导图牢记被动语态更大难点：主动表被动！

be+done一个句子的谓语动词是及物动词时，才可以主宾互换，才可以变被动语态。主动语态：Heateanapple.他吃了一个苹果。知识链接：5分钟学透英语9种核心时态：9时态=3时间X3状态。知识链接：英语其实就这5个句子：句子成分和基本句式超精解！1)主谓宾：Theyarebuildingabridge.他们正在建造一座桥。

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高考数学——解三角形之参数范围/最值问题求解

解三角形是高考常考题型，考察难度适中；其中关于边或角的求值问题较易，但是参数的取值范围问题却相对较难。最后分解为以下三种解决模型：1.正弦定理+不等式；2.正弦定理+辅助角公式；3.转化为类二次函数。此类问题一般可转换为：已知一个角A及其对边a的值，求ab及a+b等形式.。该变式用余弦定理+已较复杂，如果使用 *** 2，则简单许多。

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2020年浙江省高考数学模拟试卷第19题：立体几何

今天给大家分享的是2020年浙江省高考模拟第19题，这道题目涉及的知识是关于立体几何的内容，很多同学的空间想象能力比较薄弱，一遇到这种题目就会觉得很“头疼”，同时，这部分的内容也是我们得分的关键，所以在平常中还是要多多练习。

【例题】

19.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．

（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；

（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．

【解题分析】：

（I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，根据三角形的中位线定理，容易得到AE∥FB1，DE∥B1C，从而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD；

（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，再结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们容易判断出△ABC是正三角形，进而得到AD⊥BC1，DE⊥BC1，再结合线面垂直的判定定理就可以得到BC1⊥平面EAD．

【详细解答过程】

证明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B1E，AF＝B1E，

∴四边形AFB1E是平行四边形，

∴AE∥FB1，

∵AE?平面B1FC，FB1?平面B1FC，

∴AE∥平面B1FC；

又 D，E分别是BC，BB1的中点，

∴DE∥B1C，

∵ED?平面B1FC，B1C?平面B1FC，

∴ED∥平面B1FC；

∵AE∩DE＝E，AE?平面EAD，ED?平面EAD，

∴平面B1FC∥平面EAD．

（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴C1C⊥面ABC，又∵AD?面ABC，

∴C1C⊥AD．

又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，

∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，

而C1C∩BC＝C，CC1?面BCC1B1，BC?面BCC1B1，

∴AD⊥面BCC1B1，

故 AD⊥BC1．

∵四边形BCC1B1是菱形，

∴BC1⊥B1C，

而DE∥B1C，故 DE⊥BC1，

由AD∩DE＝D，AD?面EAD，ED?面EAD，

得 BC1⊥面EAD．

【总结】这道题主要考查的知识点是平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得AE∥FB1，DE∥B1C，对于（II）的关键是证得AD⊥BC1，DE⊥BC1．

今天的分享就到此结束了，这道题目难度不大，希望各位同学好好消化，转化为自己的东西，加油。

“线面”相关问题，一直是高考立体几何最喜欢考的题型

高考作为整个社会最重要的考试之一，一方面为高等院校选拔人才，促进社会科技的发展，另一方面也对中学教育提供指引和方向。高考既然作为人才选拔的考试，肯定不会只是考查考生知识掌握程度那么简单，还会重点考查考生分析问题和解决问题的能力。

像立体几何有关的试题，能很好的考查考生的空间想象能力，要想正确解决这些问题，常常需要考生具有一定的综合能力。

在每年的高考中，与立体几何有关的试题，如线线、线面、面面平行的性质和判定是考查的重点之一，线面平行又是平行的重要题型。处理线面平行问题要注意线线、线面、面面的相互转化，采用辅助线(面)是证线面平行的关键。

综观近几年高考数学试题，涉及“线面”的试题难度一般不大，基本题型和中等难度的综合题型仍会继续保留。不过，随着空间向量的出现，利用空间向量进行论证和计算的问题肯定会出现，但难度不会太大。

“线面”有关的高考数学试题分析，讲解1：

已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠BAC=90°，A1A=1，AB=√3，AC=2，E、F分别为棱C1C、BC的中点．

（Ⅰ）求证 AC⊥A1B；

（Ⅱ）求直线EF与A1B所成的角；

（Ⅲ）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求∠HA1A．

考点分析：

直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．

题干分析：

（I）由AC⊥AB，AC⊥AA1即可得出AC⊥平面ABB1A1，于是AC⊥A1B；

（II）以A为原点建立坐标系，求出坐标，计算cos＜＞即可得出直线EF与A1B所成的角；

（III）求出向量和平面EFG的法向量，则sin∠HA1A．

考生要掌握好平面基本性质、空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。

同时更要能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。

?“线面”有关的高考数学试题分析，讲解2：

如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2√2，CD=2，AA1=2，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是A1D上一点，且A1E=2ED．

（1）求证：EO∥平面A1ABB1；

（2）求直线A1B与平面A1ACC1所成角的正弦值．

考点分析：

直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

题干分析：

（1）连结A1B，利用△AOB∽△COD得出OD/OB=1/2，又DE/A1E=1/2，故而OE∥A1B，于是EO∥平面A1ABB1．

（2）过A1作A1F⊥B1C1于F，连结BF，则可证明A1F⊥平面BB1C1C，于是∠A1BF是直线A1B与平面A1ACC1所成的角，求出A1F和A1B即可求出线面角的正弦值．

欲证线面平行，先证线线平行，欲证线线平行，可先证线面平行，反复用直线与平面平行的判定、性质定理，在同一题中也经常用到。

比起具体的数学知识，数学思想 *** 具有更高的概括抽象水平，更本质、更深刻。数学思想 *** 是数学的精神实质与理论基础，我们一定要认真消化和理解。

从数学和思想的含义去理解，所谓数学思想 *** ，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

数学模型化考试高分化-1-教师版高中数学知识点归纳

数学模型化考试高分化-1-教师版高中数学知识点归纳得到不该得到的得到，就一定会失去不该失去的失去，只有忍受别人不能忍受的忍受，才能享受别人不能享受的享受。1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1： *** 、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括 *** 、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修3—1：数学史选讲。选修3—2：信息安全与密码。选修3—3：球面上的几何。选修3—4：对称与群。选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修4—1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—3：数列与差分。选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—9：风险与决策。选修4—10：开关电路与布尔代数。2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：(1) *** 与简易逻辑: *** 的概念与运算、简易逻辑、充要条件(2)函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用(3)数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用(4)三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用(5)平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用数学模型化考试高分化-2-(6)不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用(7)直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系(8)圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用(9)直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量(10)排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用(11)概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布(12)导数：导数的概念、求导、导数的应用(13)复数：复数的概念与运算必修1数学知识点之一章： *** 与函数概念§1.1.1、 *** 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做 *** 。 *** 三要素：确定性、互异性、无序性。2、只要构成两个 *** 的元素是一样的，就称这两个 *** 相等。3、常见 *** ：正整数 *** ：*N或?N，整数 *** ：Z，有理数 *** ：Q，实数 *** ：R.4、 *** 的表示 *** ：列举法、描述法.§1.1.2、 *** 间的基本关系1、一般地，对于两个 *** A、B，如果 *** A中任意一个元素都是 *** B中的元素，则称 *** A是 *** B的子集。记作BA?.2、如果 *** BA?，但存在元素Bx?，且Ax?，则称 *** A是 *** B的真子集.记作：AB.3、把不含任何元素的 *** 叫做空集.记作：?.并规定：空 *** 是任何 *** 的子集.4、如果 *** A中含有n个元素，则 *** A有n2个子集，21n?个真子集.§1.1.3、 *** 间的基本运算1、一般地，由所有属于 *** A或 *** B的元素组成的 *** ，称为 *** A与B的并集.记作：BA?.2、一般地，由属于 *** A且属于 *** B的所有元素组成的 *** ，称为A与B的交集.记作：BA?.3、全集、补集？{|,}UCAxxUxU???且§1.2.1、函数的概念1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于 *** A中的任意一个数x，在 *** B中都有惟一确定的数??xf和它对应，那么就称BAf?:为 *** A到 *** B的一个函数，记作：??Axxfy??,.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.§1.2.2、函数的表示法1、函数的三种表示 *** ：解析法、图象法、列表法.§1.3.1、单调性与更大（小）值1、注意函数单调性的证明 *** ：(1)定义法：设2121>,,,<)(0)()(21baxfxfxf在???上是增函数；>,<)(0)()(21baxfxfxf在???上是减函数.步骤：取值—作差—变形—定号—判断格式：解：设??baxx,,21?且21xx?，则：????21xfxf?=...(2)导数法：设函数)(xfy?在某个区间内可导，若0)(??xf，则)(xf为增函数；若0)(??xf，则)(xf为减函数.§1.3.2、奇偶性1、一般地，如果对于函数??xf的定义域内任意一个x，都有????xfxf??，那么就称函数??xf为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.2、一般地，如果对于函数??xf的定义域内任意一个x，都有????xfxf???，那么就称函数??xf为奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识链接：函数与导数1、函数)(xfy?在点0x处的导数的几何意义：函数)(xfy?在点0x处的导数是曲线)(xfy?在数学模型化考试高分化-3-))(,(00xfxP处的切线的斜率)(0xf?，相应的切线方程是))((000xxxfyy????.2、几种常见函数的导数①'C0?；②1')(??nnnxx；③xxcos)(sin'?；④xxsin)(cos'??；⑤aaaxxln)('?；⑥xxee?')(；⑦axxaln1)(log'?；⑧xx1)(ln'?3、导数的运算法则（1）'''()uvuv???.（2）'''()uvuvuv??.（3）'''2()(0)uuvuvvvv???.4、复合函数求导法则复合函数(())yfgx?的导数和函数(),()yfuugx??的导数间的关系为xuxyyu?????，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.解题步骤:分层—层层求导—作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：极值是在0x附近所有的点，都有)(xf＜)(0xf，则)(0xf是函数)(xf的极大值；极值是在0x附近所有的点，都有)(xf＞)(0xf，则)(0xf是函数)(xf的极小值.(2)判别方法：①如果在0x附近的左侧)('xf＞0，右侧)('xf＜0，那么)(0xf是极大值；②如果在0x附近的左侧)('xf＜0，右侧)('xf＞0，那么)(0xf是极小值.6、求函数的最值(1)求()yfx?在(,)ab内的极值（极大或者极小值）(2)将()yfx?的各极值点与(),()fafb比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。第二章：基本初等函数（I）§2.1.1、指数与指数幂的运算1、一般地，如果axn?，那么x叫做a的n次方根。其中???Nnn,1.2、当n为奇数时，aann?；当n为偶数时，aann?.3、我们规定：(1)mnmnaa???1,,,0*???mNnma；(2)??01???naann；4、运算性质：(1)??Qsraaaasrsr????,,0；(2)????Qsraaarssr???,,0；(3)????Qrbabaabrrr????,0,0.§2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象：??1,0???aaayx1?a10??a图象654321-1-4-2246 0 1654321-1-4-2246 0 1性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数(5)0,1xxa??;0,01xxa???(5)0,01xxa???;0,1xxa??011y=axoyx数学模型化考试高分化-4-2、性质：§2.2.1、对数与对数运算1、指数与对数互化式：logxaaNxN???；2、对数恒等式：logaNaN?.3、基本性质：01log?a，1log?aa.4、运算性质：当0,0,1,0????NMaa时：(1)??NMMNaaalogloglog??；(2)NMNMaaalogloglog????????；(3)MnManaloglog?.5、换底公式：abbccalogloglog???0,1,0,1,0?????bccaa.6、重要公式：loglognmaambbn?7、倒数关系：abbalog1log???1,0,1,0????bbaa.§2..2.2、对数函数及其性质1、记住图象：??1,0log???aaxya2、性质：§2.3、幂函数1、几种幂函数的图象：第三章：函数的应用§3.1.1、方程的根与函数的零点1、方程??0?xf有实根?函数??xfy?的图象与x轴有交点?函数??xfy?有零点.2、零点存在性定理：如果函数??xfy?在区间??ba,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有????0??bfaf，那么函数??xfy?在区间??ba,内有零点，即存在??bac,?，使得??0?cf，这个c也就是方程??0?xf的根.§3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.§3.2.1、几类不同增长的函数模型§3.2.2、函数模型的应用举例1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.必修2数学知识点第一章：空间几何体1?a10??a图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678 0 1 132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678 0 1 1性质(1)定义域：（0，+∞）（2）值域：R（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0（4）在（0，+∞）上是增函数（4）在（0，+∞）上是减函数(5)0log,1??xxa；0log,10???xxa(5)0log,1??xxa；0log,10???xxa011y=logaxoyx数学模型化考试高分化-5-1、空间几何体的结构(1)常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。(2)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。3、空间几何体的表面积与体积(1)圆柱侧面积；lrS????2侧面(2)圆锥侧面积：lrS????侧面(3)圆台侧面积：lRlrS????????侧面(4)体积公式：hSV??柱体；hSV??31锥体；??hSSSSV下下上上台体????31(5)球的表面积和体积：32344RVRS????球球，.第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6、线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：(1)判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。(2)性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。10、面面平行：(1)判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。(2)性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。11、线面垂直：(1)定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。(2)判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。(3)性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直：(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。(2)判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。(3)性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。第三章：直线与方程1、倾斜角与斜率：1212tanxxyyk?????2、直线方程：(1)点斜式：??00xxkyy???(2)斜截式：bkxy??数学模型化考试高分化-6-(3)两点式：121121yyyyxxxx?????(4)截距式：1xyab??(5)一般式：0???CByAx3、对于直线：222111:,:bxkylbxkyl????有：(1)??????212121//bbkkll；(2)1l和2l相交12kk??；(3)1l和2l重合??????2121bbkk；(4)12121????kkll.4、对于直线：0:,0:22221111??????CyBxAlCyBxAl有：(1)??????1221122121//CBCBBABAll；(2)1l和2l相交1221BABA??；(3)1l和2l重合??????12211221CBCBBABA；(4)0212121????BBAAll.5、两点间距离公式：????21221221yyxxPP????6、点到直线距离公式：2200BACByAxd????7、两平行线间的距离公式：1l：01???CByAx与2l：02???CByAx平行，则2221BACCd???第四章：圆与方程1、圆的方程：(1)标准方程：????222rbyax????其中圆心为(,)ab，半径为r.(2)一般方程：022?????FEyDxyx.其中圆心为(,)22DE??，半径为22142rDEF???.2、直线与圆的位置关系直线0???CByAx与圆222)()(rbyax????的位置关系有三种:0?????相离rd;0?????相切rd;0?????相交rd.弦长公式：222drl??2212121()4kxxxx????3、两圆位置关系：21OOd?(1)外离：rRd??；(2)外切：rRd??；(3)相交：rRdrR????；(4)内切：rRd??；(5)内含：rRd??.3、空间中两点间距离公式：??????21221221221zzyyxxPP??????必修3数学知识点第一章：算法1、算法三种语言：数学模型化考试高分化-7-自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；3、算法的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构???当型循环结构直到型循环结构(1)顺序结构示意图：（图1）(2)条件结构示意图：①IF-THEN-ELSE格式：（图2）②IF-THEN格式：（图3）(3)循环结构示意图：①当型（WHILE型）循环结构示意图：（图4）②直到型（UNTIL型）循环结构示意图：（图5）4、基本算法语句：①输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量②输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式③赋值语句的一般格式：变量＝表达式（“=”有时也用“←”）.④条件语句的一般格式有两种：IF—THEN—ELSE语句的一般格式为：IF—THEN语句的一般格式为：IF条件THEN语句1ELSE语句2ENDIFIF条件THEN语句ENDIF（图3）（图2）语句n+1语句n满足条件？语句1语句2是否满足条件？语句是否满足条件？循环体是否满足条件？循环体是否数学模型化考试高分化-8-⑤循环语句的一般格式是两种：当型循环（WHILE）语句的一般格式：直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：(6)算法案例：①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：i）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商0S和一个余数0R；ii）：若0R＝0，则n为m，n的最大公约数；若0R≠0，则用除数n除以余数0R得到一个商1S和一个余数1R；iii）：若1R＝0，则1R为m，n的最大公约数；若1R≠0，则用除数0R除以余数1R得到一个商2S和一个余数2R；......依次计算直至nR＝0，此时所得到的1nR?即为所求的最大公约数。②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：i）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。ii）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。③进位制十进制数化为k进制数—除k取余法k进制数化为十进制数第二章：统计1、抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少）②系统抽样（总体个数较多）③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn。2、总体分布的估计：(1)一表二图：①频率分布表——数据详实②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。(2)茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：(1)平均数：nxxxxxn??????321；取值为nxxx,,,21?的频率分别为nppp,,,21?，则其平均数为nnpxpxpx????2211；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。(2)方差与标准差：一组样本数据nxxx,,,21?方差：212)(1????niixxns；标准差：21)(1????niixxns注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。(3)线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：abxy???（最小二乘法）1221niiiniixynxybxnxaybx??????????????????注意：线性回归直线经过定点),(yx。第三章：概率WHILE条件循环体WEND（图4）DO循环体LOOPUNTIL条件（图5）数学模型化考试高分化-9-1、随机事件及其概率：(1)事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；(2)必然事件、不可能事件、随机事件的特点；(3)随机事件A的概率：1)(0,)(???APnmAP.2、古典概型：(1)基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；(2)古典概型的特点：①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件都是等可能发生。(3)古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率nmAP?)(.3、几何概型：(1)几何概型的特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。(2)几何概型概率计算公式：的测度的测度DdAP?)(；其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：(1)不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；(2)如果事件nAAA,,,21?任意两个都是互斥事件，则称事件nAAA,,,21?彼此互斥。(3)如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，即：)()()(BPAPBAP???(4)如果事件nAAA,,,21?彼此互斥，则有：)()()()(2121nnAPAPAPAAAP?????????(5)对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。①事件A的对立事件记作A)(1)(,1)()(APAPAPAP????②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。必修4数学知识点第一章：三角函数§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角?终边相同的角的集合：??Zkk???,2????.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、rl??.3、弧长公式：RRnl????180.4、扇形面积公式：lRRnS213602???.§1.2.1、任意角的三角函数1、设?是一个任意角，它的终边与单位圆交于点??yxP,，那么：xyxy??????tan,cos,sin2、设点??,Axy为角?终边上任意一点，那么：（设22rxy??）sinyr??，cosxr??，tanyx??，cotxy??3、?sin，?cos，?tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.?06?4?3?2?23?34??32?2?sin?cos?tan?§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：1cossin22????.2、商数关系：???cossintan?.TMAOPxy数学模型化考试高分化-10-3、倒数关系：tancot1???§1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Zk?）1、诱导公式一：??????.tan2tan,cos2cos,sin2sin???????????????kkk（其中：Zk?）2、诱导公式二：??????.tantan,coscos,sinsin?????????????????3、诱导公式三：??????.tantan,coscos,sinsin??????????????4、诱导公式四：??????.tantan,coscos,sinsin?????????????????5、诱导公式五：.sin2cos,cos2sin??????????????????????6、诱导公式六：.sin2cos,cos2sin???????????????????????§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.sinyx?在<0,2>x??上的五个关键点为：30010-12022????（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：y=tanx3?2??2-3?2-?-?2oyx2、记住余切函数的图象：y=cotx3?2??22?-?-?2oyx3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数??xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有1-1y=cosx-3?2-5?2-7?27?25?23?2?2-?2-4?-3?-2?4?3?2??-?oyx1-1y=sinx-3?2-5?2-7?27?25?23?2?2-?2-4?-3?-2?4?3?2??-?oyx数学模型化考试高分化-2-????xfTxf??，那么函数??xf就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质xysin?xycos?xytan?图象定义域RR},2|{Zkkxx?????值域<-1,1><-1,1>R最值maxmin2,122,12xkkZyxkkZy?????????????时，时，maxmin2,12,1xkkZyxkkZy???????????时，时，无周期性?2?T?2?T??T奇偶性奇偶奇单调性Zk?在<2,2>22kk??????上单调递增在3<2,2>22kk??????上单调递减在<2,2>kk????上单调递增在<2,2>kk????上单调递减在(,)22kk??????上单调递增对称性Zk?对称轴方程：2xk????对称中心(,0)k?对称轴方程：xk??对称中心(,0)2k???无对称轴对称中心,0)(2k?§1.5、函数??????xAysin的图象1、对于函数：????sin0,0yAxBA????????有：振幅A，周期2T???，初相?，相位???x，频率??21??Tf.2、能够讲出函数xysin?的图象与??sinyAxB?????的图象之间的平移伸缩变换关系.1先平移后伸缩：sinyx?平移||?个单位??sinyx???（左加右减）横坐标不变??sinyAx???纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变??sinyAx????数学模型化考试高分化-2-横坐标变为原来的1||?倍平移||B个单位??sinyAxB?????（上加下减）2先伸缩后平移：sinyx?横坐标不变sinyAx?纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变sinyAx??横坐标变为原来的1||?倍平移??个单位??sinyAx????（左加右减）平移||B个单位??sinyAxB?????（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()yx????，x∈R及函数cos()yx????，x∈R(A,?,?为常数，且A≠0)的周期2||T???；函数tan()yx????，,2xkkZ?????(A,ω,?为常数，且A≠0)的周期||T???.对于sin()yAx????和cos()yAx????来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数sin()yAx????图像的对称轴与对称中心，只需令()2xkkZ????????与()xkkZ??????解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：maxmin2yyA??，maxmin2yyB??.?要根据周期来求,?要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：??sin?cos?tan12?426?426?32?§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、????????sincoscossinsin???2、????????sincoscossinsin???3、????????sinsincoscoscos???4、????????sinsincoscoscos???5、??tantan1tantantan??????????.6、??tantan1tantantan??????????.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、???cossin22sin?，变形：12sincossin2????.2、???22sincos2cos??1cos22????2sin21??.变形如下：升幂公式：221cos22cos1cos22sin?????????????降幂公式：221cos(1cos2)21sin(1cos2)2?????????????3、???2tan1tan22tan??.4、sin21cos2tan1cos2sin2?????????§3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cossin22??????xbaxbxay数学模型化考试高分化-3-（其中辅助角?所在象限由点(,)ab的象限决定,tanba??).第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB????；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、ba?≤ba?.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数?与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a?，它的长度和方向规定如下：(1)aa???,(2)当0??时,a?的方向与a的方向相同；当0??时,a?的方向与a的方向相反.2、平面向量共线定理：向量??0?aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使ab??.§2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果21,ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数21,??，使2211eea????.§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、??yxjyixa,???.§2.3.3、平面向量的坐标运算1、设????2211,,,yxbyxa??，则：(1)??2121,yyxxba????，(2)??2121,yyxxba????，(3)??11,yxa????，(4)1221//yxyxba??.2、设????2211,,,yxByxA，则：??1212,yyxxAB???.§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设??????332211,,,,,yxCyxByxA，则(1)线段AB中点坐标为??222121,yyxx??，数学模型化考试高分化-4-(2)△ABC的重心坐标为??33321321,yyyxxx????.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、?co *** aba??.2、a在b方向上的投影为：?cosa.3、22aa?.4、2aa?.5、0????baba.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设????2211,,,yxbyxa??，则：(1)2121yyxxba???(2)2121yxa??(3)121200ababxxyy???????????(4)1221//0ababxyxy??????????2、设????2211,,,yxByxA，则：????212212yyxxAB????.3、两向量的夹角公式121222221122cosxxyyababxyxy????????????4、点的平移公式平移前的点为(,)Pxy（原坐标），平移后的对应点为(,)Pxy???（新坐标），平移向量为(,)PPhk??????，则.xxhyyk?????????函数()yfx?的图像按向量(,)ahk??平移后的图像的解析式为().ykfxh???§2.5.1、平面几何中的向量 *** §2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量(1)．直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB????为直线l的一个方向向量；与AB????平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.(2)．平面的法向量：若向量n?所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作n???，如果n???，那么向量n?叫做平面?的法向量.(3)．平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．②设平面?的法向量为(,,)nxyz??．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)aaaabbbb?????．④根据法向量定义建立方程组00nanb?????????????.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面?的法向量.（如图）2、用向量 *** 判定空间中的平行关系(1)线线平行设直线12,ll的方向向量分别是ab??、，则要证明1l∥数学模型化考试高分化-5-2l，只需证明a?∥b?，即()akbkR????.即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。(2)线面平行①（法一）设直线l的方向向量是a?，平面?的法向量是u?，则要证明l∥?，只需证明au???，即0au????.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.(3)面面平行若平面?的法向量为u?，平面?的法向量为v?，要证?∥?，只需证u?∥v?，即证uv????.即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量 *** 判定空间的垂直关系(1)线线垂直设直线12,ll的方向向量分别是ab??、，则要证明12ll?，只需证明ab???，即0ab????.即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。(2)线面垂直①（法一）设直线l的方向向量是a?，平面?的法向量是u?，则要证明l??，只需证明a?∥u?，即au????.②（法二）设直线l的方向向量是a?，平面?内的两个相交向量分别为mn?????、，若0,.0amlan????????????????则即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。(3)面面垂直若平面?的法向量为u?，平面?的法向量为v?，要证???，只需证uv???，即证0uv????.即：两平面垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角(1)求异面直线所成的角已知,ab为两异面直线，A，C与B，D分别是,ab上的任意两点，,ab所成的角为?，则cos.ACBDACBD???????????????????(2)求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角奎屯王新敞新疆②求法：设直线l的方向向量为a?，平面?的法向量为u?，直线与平面所成的角为?，a?与u?的夹角为?，则?为?的余角或?的补角的余角.即有：coss.inauau????????(3)求二面角①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面奎屯王新敞新疆二面角的平面角是指在二面角????l的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线lBOlAO??,，则AOB?为二面角????l的平面角.如图：②求法：设二面角l????的两个半平面的法向量分别为mn???、，再设mn???、的夹角为?，二面角l????的平面角为?，则二面角?为mn???、的夹角OABOABl数学模型化考试高分化-6-???2?1ABDC?或其补角.???根据具体图形确定?是锐角或是钝角：◆如果?是锐角，则cosco *** nmn???????????，即arcco *** nmn?????????；◆如果?是钝角，则cosco *** nmn?????????????，即arcco *** nmn??????????????????.5、利用法向量求空间距离(1)点Q到直线l距离若Q为直线l外的一点,P在直线l上，a?为直线l的方向向量，b?=PQ????，则点Q到直线l距离为221(||||)()||hababa????????(2)点A到平面?的距离若点P为平面?外一点，点M为平面?内任一点，平面?的法向量为n?，则P到平面?的距离就等于MP????在法向量n?方向上的投影的绝对值.即cos,dMPnMP???????????nMPMPnMP?????????????????nMPn????????(3)直线a与平面?之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即.nMPdn????????(4)两平行平面,??之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即.nMPdn????????(5)异面直线间的距离设向量n?与两异面直线,ab都垂直，,,MaPb??则两异面直线,ab间的距离d就是MP????在向量n?方向上投影的绝对值。即.nMPdn????????6、三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直奎屯王新敞新疆推理模式：,,POOPAAaPAaaOA?????????????????概括为：垂直于射影就垂直于斜线.(2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直奎屯王新敞新疆推理模式：,,POOPAAaAOaaAP?????????????????概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC是平面?内的任一条直线，AD是?的一条斜线AB在?内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB与?(AD)所aP?OA数学模型化考试高分化-7-成的角为1?，AD与AC所成的角为2?，AB与AC所成的角为?．则12coscoscos????.8、面积射影定理已知平面?内一个多边形的面积为??SS原，它在平面?内的射影图形的面积为??SS?射，平面?与平面?所成的二面角的大小为锐二面角?，则'cos=.SSSS??射原9、一个结论长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、、，夹角分别为123???、、,则有2222123llll???222123coscoscos1???????222123sinsinsin2???????.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.必修5数学知识点之一章：解三角形1、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin???.（其中R为ABC?外接圆的半径）2sin,2sin,2sin;aRAbRBcRC????sin,sin,sin;222abcABCRRR????::sin:sin:sin.abcABC??用途：(1)已知三角形两角和任一边，求其它元素；(2)已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。2、余弦定理：2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbacacBcababC??????????????222222222cos,2cos,2cos.2bcaAbcacbBacabcCab??????????????????用途：(1)已知三角形两边及其夹角，求其它元素；(2)已知三角形三边，求其它元素。做题中两个定理经常结合使用.3、三角形面积公式：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21????4、三角形内角和定理：在△ABC中，有()ABCCAB?????????222CAB?????222()CAB?????.5、一个常用结论：在ABC?中，sinsin;abABAB?????若sin2sin2,.2ABABAB?????则或特别注意，在三角函数中，sinsinABAB???不成立。第二章：数列1、数列中na与nS之间的关系：11,(1),(2).nnnSnaSSn????????注意通项能否合并。2、等差数列：(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即na－1?na=d，（n≥2，n∈N?），那么这个数列就叫做等差数列。(2)等差中项：若三数aAb、、成等差数列2abA???(3)通项公式：1(1)()nmaandanmd??????或(napnqpq??、是常数）.(4)前n项和公式：数学模型化考试高分化-8-????11122nnnnnaaSnad?????(5)常用性质：①若?????????Nqpnmqpnm,,,，则qpnmaaaa???；②下标为等差数列的项???,,,2mkmkkaaa??，仍组成等差数列；③数列??ban??（b,?为常数）仍为等差数列；④若{}na、{}nb是等差数列，则{}nka、{}nnkapb?(k、p是非零常数)、*{}(,)pnqapqN??、，...也成等差数列。⑤单调性：??na的公差为d，则：i）??0d??na为递增数列；ii）??0d??na为递减数列；iii）??0d??na为常数列；⑥数列{na}为等差数列napnq???（p,q是常数）⑦若等差数列??na的前n项和nS，则kS、kkSS?2、kkSS23?...是等差数列。3、等比数列(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。(2)等比中项：若三数ab、G、成等比数列2,Gab??（ab同号）。反之不一定成立。(3)通项公式：11nnmnmaaqaq????(4)前n项和公式：??11111nnnaqaaqSqq??????(5)常用性质①若?????????Nqpnmqpnm,,,，则mnpqaaaa???；②?,,,2mkmkkaaa??为等比数列，公比为kq(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)③数列??na?（?为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列??na；则??lgna是公差为lgq的等差数列；④若??na是等比数列，则????2nncaa，，1na??????，??()rnarZ?是等比数列，公比依次是21.rqqqq，，，⑤单调性：110,10,01aqaq?????或??na?为递增数列；??110,010,1naqaqa??????或为递减数列；??1nqa??为常数列；??0nqa??为摆动数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。⑦若等比数列??na的前n项和nS，则kS、kkSS?2、kkSS23?...是等比数列.4、非等差、等比数列通项公式的求法类型I观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。类型II公式法：若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列??na的通项na可用公式11,(1),(2)nnnSnaSSn????????构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a和na合为一个表达，（要先分1n?和2?n两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。类型III累加法：形如)(1nfaann???型的递推数列（其中)(nf是关数学模型化考试高分化-9-于n的函数）可构造：11221(1)(2)..(1.)nnnnaafnaafnaaf??????????????????将上述1?n个式子两边分别相加，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)nafnfnffan????????①若()fn是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若()fn是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若()fn是关于n的二次函数，累加后可分组求和;④若()fn是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.类型IV累乘法：形如1()nnaafn???1()nnafna????????型的递推数列（其中)(nf是关于n的函数）可构造：11221(1)(.2)(1..)nnnnafnaafnaafa???????????????????将上述1?n个式子两边分别相乘，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)nafnfnffan???????有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种 *** 求解。类型V构造数列法：(一)形如qpaann???1（其中,pq均为常数且0p?）型的递推式：（1）若1p?时，数列{na}为等差数列;（2）若0q?时，数列{na}为等比数列;（3）若1p?且0?q时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求. *** 有如下两种：法一：设1()nnapa??????,展开移项整理得1(1)nnapap?????,与题设1nnapaq???比较系数（待定系数法）得1,(0)()111nnqqqpapappp???????????1()11nnqqapapp???????,即1nqap????????构成以11qap??为首项，以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出1nqap????????的通项整理可得.na法二：由qpaann???1得1(2)nnapaqn????两式相减并整理得11,nnnnaapaa?????即??1nnaa??构成以21aa?为首项，以p为公比的等比数列.求出??1nnaa??的通项再转化为类型III（累加法）便可求出.na(二)形如1()nnapafn???(1)p?型的递推式：(1)当()fn为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设??1(1)nnaAnBpaAnB???????，通过待定系数法确定AB、的值，转化成以1aAB??为首项，以p为公比的等比数列??naAnB??，再利用等比数列的通项公式求出??naAnB??的通项整理可得.na数学模型化考试高分化-10-法二：当()fn的公差为d时，由递推式得：1()nnapafn???，1(1)nnapafn????两式相减得：11()nnnnaapaad??????，令1nnnbaa???得：1nnbpbd???转化为类型V(一)求出nb，再用类型III（累加法）便可求出.na(2)当()fn为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设??1()(1)nnafnpafn???????，通过待定系数法确定?的值，转化成以1(1)af??为首项，以p为公比的等比数列??()nafn??，再利用等比数列的通项公式求出??()nafn??的通项整理可得.na法二：当()fn的公比为q时，由递推式得：1()nnapafn???——①，1(1)nnapafn????，两边同时乘以q得1(1)nnaqpqaqfn????——②，由①②两式相减得11()nnnnaaqpaqa?????，即11nnnnaqapaqa?????，在转化为类型V(一)便可求出.na法三：递推公式为nnnqpaa???1（其中p，q均为常数）或1nnnaparq???（其中p，q,r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以1?nq，得：qqaqpqannnn111?????，引入辅助数列??nb（其中nnnqab?），得：qbqpbnn11???再应用类型V(一)的 *** 解决。(3)当()fn为任意数列时，可用通法：在1()nnapafn???两边同时除以1np?可得到111()nnnnnaafnppp?????，令nnnabp?，则11()nnnfnbbp????，在转化为类型III（累加法），求出nb之后得nnnapb?.类型VI对数变换法：形如1(0,0)qnnapapa????型的递推式：在原递推式1qnapa??两边取对数得1lglglgnnaqap???，令lgnnba?得：1lgnnbqbp???，化归为qpaann???1型，求出nb之后得10.nbna?（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。类型VII倒数变换法：形如11nnnnaapaa????（p为常数且0p?）的递推式：两边同除于1nnaa?，转化为111nnpaa???形式，化归为qpaann???1型求出1na的表达式，再求na；还有形如1nnnmaapaq???的递推式，也可采用取倒数 *** 转化成111nnmmaqap???形式，化归为qpaann???1型求出1na的表达式，再求na.类型VIII形如nnnqapaa????12型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列}{1??nnaa的形式求解。 *** 为：设)(112nnnnkaahkaa??????，比较数学模型化考试高分化-11-系数得qhkpkh????,，可解得hk、，于是1{}nnaka??是公比为h的等比数列，这样就化归为qpaann???1型。总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同 *** 求解，对不能转化为以上 *** 求解的数列，可用归纳、猜想、证明 *** 求出数列通项公式.na5、非等差、等比数列前n项和公式的求法(1)错位相减法①若数列??na为等差数列，数列??nb为等比数列，则数列??nnab?的求和就要采用此法.②将数列??nnab?的每一项分别乘以??nb的公比，然后在错位相减，进而可得到数列??nnab?的前n项和.此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的 *** .(2)裂项相消法一般地，当数列的通项12()()ncaanbanb???12(,,,abbc为常数）时，往往可将na变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设12naanbanb??????，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得21cbb???，从而可得12211211=().()()()ccanbanbbbanbanb??????常见的拆项公式有：①111(1)1nnnn????；②1111();(21)(21)22121nnnn??????③11();ababab????④11;mmmnnnCCC????⑤!(1)!!.nnnn????(3)分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.(4)倒序相加法如果一个数列??na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和 *** 称为倒序相加法。特征：121...nnaaaa?????(5)记住常见数列的前n项和：①(1)123...;2nnn??????②2135...(21);nn??????③22221123...(1)(21).6nnnn???????第三章：不等式§3.1、不等关系与不等式1、不等式的基本性质①（对称性）abba???②（传递性）,abbcac????③（可加性）abacbc?????（同向可加性）dbcadcba??????,（异向可减性）dbcadcba??????,④（可积性）bcaccba????0,数学模型化考试高分化-12-bcaccba????0,⑤（同向正数可乘性）0,0abcdacbd??????（异向正数可除性）0,0ababcdcd??????⑥（平 *** 则）0(,1)nnababnNn??????且⑦（开 *** 则）0(,1)nnababnNn??????且⑧（倒数法则）babababa110;110????????2、几个重要不等式①??222abababR???，,（当且仅当ab?时取""?号）.变形公式：22.2abab??②（基本不等式）2abab????abR??，,（当且仅当ab?时取到等号）.变形公式：2abab??2.2abab????????用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积更大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）33abcabc???()abcR??、、（当且仅当abc??时取到等号）.④??222abcabbccaabR??????，（当且仅当abc??时取到等号）.⑤3333(0,0,0)abcabcabc??????（当且仅当abc??时取到等号）.⑥0,2baabab???若则（当仅当a=b时取等号）0,2baabab????若则（当仅当a=b时取等号）⑦banbnamambab????????1其中(000)abmn????，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;axaxaxaxa????????当时，或22.xaxaaxa???????⑨绝对值三角不等式.ababab?????3、几个著名不等式①平均不等式：2211222abababab??????????abR??，,（当且仅当ab?时取""?号）.（即调和平均?几何平均?算术平均?平方平均）.变形公式：222;22ababab??????????222().2abab???②幂平均不等式：222212121...(...).nnaaaaaan???????③二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy???????1122(,,,).xyxyR?④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).abcdacbdabcdR?????当且仅当adbc?时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().aaabbbababab???????⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)nnaaabbb??????21122(...).nnababab????⑦向量形式的柯西不等式：设,??????是两个向量，则,??????????????当且仅当数学模型化考试高分化-13-???是零向量，或存在实数k，使k???????时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...nnaaabbb??????为两组实数.12,,...,nccc是12,,...,nbbb的任一排列，则12111122......nnnnnabababacacac????????1122....nnababab????（反序和?乱序和?顺序和）当且仅当12...naaa???或12...nbbb???时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()fx,对于定义域中任意两点1212,(),xxxx?有12121212()()()()()().2222xxfxfxxxfxfxff??????或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用 *** 常用 *** 有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它 *** 有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩 *** ：①舍去或加上一些项，如22131()();242aa????②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kkk??211,(1)kkk??2212(),21kkkkkk??????*12(,1)1kNkkkk?????等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)axbxc????或2(0,40)abac?????解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()fxfxgxgxfxgxfxgxgx????????????（??“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解(1)2()0()(0)()fxfxaafxa????????(2)2()0()(0)()fxfxaafxa????????(3)2()0()0()()()0()0()<()>fxfxfxgxgxgxfxgx???????????????或(4)2()0()()()0()<()>fxfxgxgxfxgx??????????(5)()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx??????????规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：(1)当1a?时,()()()()fxgxaafxgx???数学模型化考试高分化-14-(2)当01a??时,()()()()fxgxaafxgx???规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法(1)当1a?时,()0log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx??????????(2)当01a??时,()0log()log()()0.()()aafxfxgxgxfxgx??????????规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：(1)定义法：(0).(0)aaaaa???????(2)平 *** ：22()()()().fxgxfxgx???(3)同解变形法，其同解定理有：①(0);xaaxaa??????②(0);xaxaxaa??????或③()()()()()(()0)fxgxgxfxgxgx??????④()()()()()()(()0)fxgxfxgxfxgxgx??????或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20axbxc???且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：(1)讨论a与0的大小；(2)讨论?与0的大小；(3)讨论两根的大小.14、恒成立问题(1)不等式20axbxc???的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a?时0,0;bc???②当0a?时00.a???????(2)不等式20axbxc???的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a?时0,0;bc???②当0a?时00.a???????(3)()fxa?恒成立max();fxa??()fxa?恒成立max();fxa??(4)()fxa?恒成立min();fxa??()fxa?恒成立min().fxa??15、线性规划问题(1)二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0AxByC???的同一侧的所有点的坐标代入AxByC??后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)xy（如原点），由00AxByC??的正负即可判断出0AxByC???(或0)?表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据0AxByC???(或0)?，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，0AxByC???(或0)?表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.数学模型化考试高分化-15-(2)二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.(3)利用线性规划求目标函数zAxBy??(,AB为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数zAxBy??（xy、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，更大的那个数为目标函数z的更大值，最小的那个数为目标函数z的最小值法二：画——移——定——求：之一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0lAxBy??，平移直线0l（据可行域，将直线0l平行移动）确定更优解；第三步，求出更优解(,)xy；第四步，将更优解(,)xy代入目标函数zAxBy??即可求出更大值或最小值.第二步中更优解的确定 *** ：利用z的几何意义：AzyxBB???,zB为直线的纵截距.①若0,B?则使目标函数zAxBy??所表示直线的纵截距更大的角点处，z取得更大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；②若0,B?则使目标函数zAxBy??所表示直线的纵截距更大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得更大值.(4)常见的目标函数的类型：①“截距”型：;zAxBy??②“斜率”型：yzx?或;ybzxa???③“距离”型：22zxy??或22;zxy??22()()zxayb????或22()().zxayb????在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.选修数学知识点专题一：常用逻辑用语1、命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题;复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.常用小写的拉丁字母p，q，r，s，......表示命题.2、四种命题及其相互关系四种命题的真假性之间的关系：(1)、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3、充分条件、必要条件与充要条件(1)、一般地，如果已知pq?，那么就说：p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq?，则p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p与结论q之间的关系：数学模型化考试高分化-16-I、从逻辑推理关系上看：①若pq?，则p是q充分条件，q是p的必要条件；②若pq?，但qp，则p是q充分而不必要条件;③若pq，但qp?，则p是q必要而不充分条件;④若pq?且qp?，则p是q的充要条件；⑤若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.II、从 *** 与 *** 之间的关系上看：已知?Axx?满足条件?p，?Bxx?满足条件?q：①若AB?,则p是q充分条件；②若BA?,则p是q必要条件；③若AB，则p是q充分而不必要条件;④若BA，则p是q必要而不充分条件;⑤若AB?，则p是q的充要条件；⑥若AB?且BA?，则p是q的既不充分也不必要条件.4、复合命题(1)复合命题有三种形式：p或q（pq?）；p且q（pq?）；非p（p?）.(2)复合命题的真假判断“p或q”形式复合命题的真假判断 *** ：一真必真；“p且q”形式复合命题的真假判断 *** ：一假必假；“非p”形式复合命题的真假判断 *** ：真假相对.5、全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.(2)存在量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.(3)全称命题与特称命题的符号表示及否定①全称命题p：,()xpx???，它的否定p?：00,().xpx????全称命题的否定是特称命题．②特称命题p：00,(),xpx???，它的否定p?：,().xpx????特称命题的否定是全称命题.专题二：圆锥曲线与方程1．椭圆焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程??222210xyabab??????222210yxabab????之一定义到两定点21FF、的距离之和等于常数2a，即21||||2MFMFa??（212||aFF?）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(01)MFeed???范围axa???且byb???bxb???且aya???顶点??1,0a??、??2,0a???10,a??、??20,a?数学模型化考试高分化-2-??10,b??、??20,b???1,0b??、??2,0b?轴长长轴的长2a?短轴的长2b?对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点??1,0Fc?、??2,0Fc??10,Fc?、??20,Fc焦距222122()FFccab???离心率22222221(01)ccabbeeaaaa????????准线方程2axc??2ayc??焦半径0,0()Mxy左焦半径：10MFaex??右焦半径：20MFaex??下焦半径：10MFaey??上焦半径：20MFaey??焦点三角形面积12212tan()2MFFSbFMF??????通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHa??（焦点）弦长公式1,12,2(),()AxyBxy，22212121211()4ABkxxkxxxx???????焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程??222210,0xyabab??????222210,0yxabab????之一定义到两定点21FF、的距离之差的绝对值等于常数2a，即21||||2MFMFa??（2102||aFF??）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(1)MFeed??范围xa??或xa?，yR?ya??或ya?，xR?数学模型化考试高分化-3-2．双曲线3．抛物线顶点??1,0a??、??2,0a???10,a??、??20,a?轴长实轴的长2a?虚轴的长2b?对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点??1,0Fc?、??2,0Fc??10,Fc?、??20,Fc焦距222122()FFccab???离心率22222221(1)ccabbeeaaaa???????准线方程2axc??2ayc??渐近线方程byxa??ayxb??焦半径0,0()MxyM在右支1020MFexaMFexa?????????左焦：右焦：M在左支1020MFexaMFexa???????????左焦：右焦：M在上支1020MFeyaMFeya?????????左焦：右焦：M在下支1020MFeyaMFeya???????????左焦：右焦：焦点三角形面积12212cot()2MFFSbFMF??????通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHa??图形标准方程22ypx???0p?22ypx????0p?22xpy???0p?22xpy????0p?定义与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)顶点??0,0离心率1e?数学模型化考试高分化-4-关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB为过抛物线22(0)ypxp??焦点的弦，1122(,)(,)AxyBxy、，直线AB的倾斜角为?，则(1)221212,;4pxxyyp???(2)22;sinpAB??(3)以AB为直径的圆与准线相切；(4)焦点F对AB、在准线上射影的张角为2?；(5)112.||||FAFBP??专题三：定积分1、定积分的概念如果函数()fx在区间<,>ab上连续，用分点011iinaxxxxxb?????????......将区间<,>ab等分成n个小区间，在每个小区间1<,>iixx?上任取一点(1,2,,)iin??...，作和式11()(),nnniiiibaLfxfn??????????，当n??时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()fx在区间<,>ab上的定积分.记作?badxxf)(，即1()lim()nbianibafxdxfn????????，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间<,>ab叫做积分区间，函对称轴x轴y轴范围0x?0x?0y?0y?焦点,02pF??????,02pF???????0,2pF??????0,2pF???????准线方程2px??2px?2py??2py?焦半径0,0()Mxy02pMFx??02pMFx???02pMFy??02pMFy???通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HHp??焦点弦长公式12ABxxp???参数p的几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔数学模型化考试高分化-2-数()fx叫做被积函数，x叫做积分变量，()fxdx叫做被积式.说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)如果()()Fxfx??，且()fx在>,aa?上的奇函数,则0dx)x(faa???;若()fx是<,>aa?上的偶函数,则????a0aadx)x(f2dx)x(f.5、定积分的几何意义定积分()bafxdx?表示在区间<,>ab上的曲线()yfx?与直线xa?、xb?以及x轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和，即()baxxfxdxSS??轴上方轴下方－.（在x轴上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号）6、求曲边梯形面积的 *** 与步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)写出定积分表达式；(4)求出曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.7、定积分的简单应用(1)定积分在几何中的应用：几种常见的曲边梯形面积的计算 *** :（1）x型区域：①由一条曲线）其中0??)()((xfxfy与直线)(,babxax???以及x轴所围成的曲边梯形的面积：()bSfxdxa?＝（如图（1））；图（1）②由一条曲线）其中0??)()((xfxfy与直线)(,babxax???以及x轴所围成的曲边梯形的面数学模型化考试高分化-3-积：??babadxxfdxxfS)()(＝－＝（如图（2））；图（2）③由一条曲线()yfx?【当axc??时，()0()0;cafxfxdx????当cxb??时，()0()0.bcfxfxdx????】与直线)(,babxax???以及x轴所围成的曲边梯形的面积：()()cbacSfxdxfxdx???＝()().cbacfxdxfxdx???＝（如图（3））；图（3）④由两条曲线()()yfxygx??，（()())fxgx?与直线)(,babxax???所围成的曲边梯形的面积：??()()()().bbbaaaSfxdxgxdxfxgxdx???????（如图（4））图（4）（2）y型区域：①由一条曲线）其中0??xxfy)((与直线)(,babyay???以及y轴所围成的曲边梯形的面积,可由)(xfy?得)(yhx?，然后利用?badyyhS)(＝求出（如图（5））；图（5）②由一条曲线）其中0??xxfy)((与直线)(,babyay???以及y轴所围成的曲边梯形的面积，可由)(xfy?先求出)(yhx?，然后利用??babadyyhdyyhS)()(＝－＝求出（如图（6））；图（6）③由两条曲线)()(xgyxfy??，与直线)(,babyay???所围成的曲边梯形的面积，可由)()(xgyxfy??，先分别求出)(yhx1?，)(yhx2?，然后利用?badyyhyhS|)()(|21－＝求出（如图（7））；图（7）(2)定积分在物理中的应用：①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速数学模型化考试高分化-4-度函数()(()0)vvtvt??在时间区间??,ab上的定积分，即().baSvtdt??.②变力作功物体在变力()Fx的作用下做直线运动，并且物体沿着与()Fx相同的方向从xa?移动到()xbab??，那么变力()Fx所作的功()baWFxdx??.专题四：推理与证明推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明数学归纳法间接证明比较法类比推理归纳推理分析法综合法反证法知识结构1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：?通过观察个别情况发现某些相同的性质；?从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；?证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：?找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；?用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；?检验猜想。3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括(1)大前提-----已知的一般原理；(2)小前提-----所研究的特殊情况；(3)结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．用 *** 的观点来理解：若 *** M中的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.5、直接证明与间接证明(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因.(3)反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明 *** .它是一种间接的证明 *** .反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；M·aS数学模型化考试高分化-5-(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种 *** .用数学归纳法证明命题的步骤;（1）（归纳奠基）证明当n取之一个值*00()nnN?时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)nkknkN???时命题成立，推证当1nk??时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等.专题五：数系的扩充与复数1、复数的概念(1)虚数单位i；(2)复数的代数形式(,)zabiabR???；(3)复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.2、复数的分类复数??,zabiabR???(0)(0,0)(0)(0,0)babbab??????????????实数纯虚数虚数非纯虚数3、相关公式(1)dcbadicbia??????且,(2)00?????babia(3)22babiaz????(4)zabi??zz，指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.4、复数运算(1)复数加减法：????????idbcadicbia???????；(2)复数的乘法：????????abicdiacbdbcadi??????；(3)复数的除法：????????abicdiabicdicdicdi???????????222222acbdbcadiacbdbcadicdcdcd???????????（类似于无理数除法的分母有理化?虚数除法的分母实数化）5、常见的运算规律(1);(2)2,2;zzzzazzbi?????2222(3);(4);(5)zzzzabzzzzzR?????????41424344(6),1,,1;nnnniiiiii????????????22111(7)1;(8),,112iiiiiiiiii???????????????????)9(设231i????是1的立方虚根，则012?????，1,,332313??????nnn?????6、复数的几何意义复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫做复平面的实轴，y轴叫做复平面的虚轴.zabiZ???????一一对应复数复平面内的点（a,b)zabiOZ???????????一一对应复数平面向量专题六：排列组合与二项式定理1、基本计数原理(1)分类加法计数原理：(分类相加)做一件事情，完成它有n类办法，在之一类办法中有1m种不同的 *** ，在第二类办法中有2m种不同的 *** ......在第n类办法中有nm种不同的 *** .那么完成这件事情共有nmmmN?????21种不同的 *** .(2)分步乘法计数原理：(分步相乘)做一件事情，完成它需要n个步骤，做之一个步骤有1m种不同的 *** ，做第二个步骤有2m种不同的 *** ......做第n个步骤有nm种不同的 *** .那么完成这件事情共有nmmmN?????21种不同的 *** .2、排列与组合(1)排列定义：一般地，从n个不同的元素中任取数学模型化考试高分化-6-??nmm?个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.(2)组合定义：一般地，从n个不同的元素中任取??nmm?个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个组合.(3)排列数：从n个不同的元素中任取??nmm?个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的排列数，记作mnA.(4)组合数：从n个不同的元素中任取??nmm?个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的组合数，记作mnC.(5)排列数公式：①??????121?????mnnnnAmn???!mnnAmn??！；②!nAnn?，规定1!0?.(6)组合数公式：①??????!121mmnnnnCmn??????或??!!mnmnCmn??！；②mnnmnCC??，规定10?nC.(7)排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.(8)排列与组合的联系：mmmnmnACA??，即排列就是先组合再全排列.??(1)(1)!()(1)21!!mmnnmmAnnnmnCmnAmmmnm??????????????????(9)排列与组合的两个性质性质排列11????mnmnmnmAAA；组合11????mnmnmnCCC.(10)解排列组合问题的 *** ①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）.⑤有序问题组合法.⑥选取问题先选后排法.⑦至多至少问题间接法.⑧相同元素分组可采用隔板法.⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！.3、二项式定理(1)二项展开公式：??011222nnnnrnrrnnnnabCaCabCabCab????????????nnnCbnN?????.(2)二项展开式的通项公式：??????????NnNrnrbaCTrrnrnr,,01.主要用途是求指定的项.(3)项的系数与二项式系数项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如在()naxb?的展开式中，第1r?项的二项式系数为rnC，第1r?项的系数为rnrrnCab?；而1()nxx?的展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定为正.(4)??nx?1的展开式：??0221101xCxCxCxCxnnnnnnnnn?????????，若令1?x，则有??nnnnnnnCCCC????????210211.数学模型化考试高分化-7-二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即131202?????????????nnnnnCCCC(5)二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mnnmnCC??；（2）增减性与更大值：当12nr??时，二项式系数Crn的值逐渐增大，当12nr??时,Crn的值逐渐减小，且在中间取得更大值。当n为偶数时，中间一项（第2n＋1项）的二项式系数2nnC取得更大值.当n为奇数时，中间两项（第21?n和21?n＋1项）的二项式系数1122nnnnCC???相等并同时取更大值.(6)系数更大项的求法设第r项的系数rA更大，由不等式组11rrrrAAAA???????可确定r.(7)赋值法若2012()...,nnnaxbaaxaxax??????则设()().nfxaxb??有：①0(0);af?②012...(1);naaaaf?????③0123...(1)(1);nnaaaaaf????????④0246(1)(1)...;2ffaaaa???????⑤1357(1)(1)....2ffaaaa???????专题七：随机变量及其分布1、基本概念(1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件ABC、、，其中任何两个都是互斥事件，则说事件ABC、、彼此互斥.当AB、是互斥事件时，那么事件AB?发生（即AB、中有一个发生）的概率，等于事件AB、分别发生的概率的和，即()()()PABPAPB???.(2)对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A的对立事件通常记着A.对立事件的概率和等于1.()1()PAPA??.特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.(3)相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.当AB、是相互独立事件时，那么事件AB?发生（即AB、同时发生）的概率，等于事件AB、分别发生的概率的积.即()()()PABPAPB???.若A、B两事件相互独立，则A与B、A与B、A与B也都是相互独立的.(4)独立重复试验①一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.知识结构数学模型化考试高分化-8-②独立重复试验的概率公式如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的概率??()(1)0,12,.,kknknnPknkCpp?????(5)条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B发生的概率.公式：()(),()0.()PABPBAPAPA??2、离散型随机变量(1)随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量奎屯王新敞新疆随机变量常用字母,,,XY??等表示.(2)离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.(3)连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.(4)离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.若X是随机变量，(,YaXbab??是常数）则Y也是随机变量奎屯王新敞新疆并且不改变其属性（离散型、连续型）.3、离散型随机变量的分布列(1)概率分布（分布列）设离散型随机变量X可能取的不同值为12,xx，...，ix，...，nx，X的每一个值ix（1,2,,in??）的概率()iiPXxp??，则称表X1x2x...ix...nxP1p2p...ip...np为随机变量X的概率分布，简称X的分布列.性质：①0,1,2,...;ipin??②11.niip???(2)两点分布如果随机变量X的分布列为则称X服从两点分布，并称(1)pPX??为成功概率.(3)二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是()(1).kknknPXkCpp????其中0,1,2,...,,1knqp???，于是得到随机变量X的概率分布如下：X01...k...nP00nnCpq111nnCpq?...kknknCpq?...0nnnCpq我们称这样的随机变量X服从二项分布，记作??pnBX,~，并称p为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；②重复性：即试验是独立重复地进行了n次;③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.注：(1)二项分布的模型是有放回抽样；(2)二项分布中的参数是,,.pkn(4)超几何分布一般地,在含有M件次品的N件产品中，任取n件,其中恰有X件次品数,则事件??Xk?发生的X01P1p?p数学模型化考试高分化-9-概率为()(0,1,2,,)knkMNMnNCCPXkkmC??????,于是得到随机变量X的概率分布如下：其中??min,mMn?,*,,,,nNMNnMNN?≤≤.我们称这样的随机变量X的分布列为超几何分布列,且称随机变量X服从超几何分布.注:(1)超几何分布的模型是不放回抽样；(2)超几何分布中的参数是,,.MNn其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.4、离散型随机变量的均值与方差(1)离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为X1x2x...ix...nxP1p2p...ip...np则称??1122iinnEXxpxpxpxp????????为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.性质：①()().EaXbaEXb???②若X服从两点分布，则().EXp?③若??pnBX,~，则().EXnp?(2)离散型随机变量的方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为X1x2x...ix...nxP1p2p...ip...np则称21()(())niiiDXxEXp????为离散型随机变量X的方差，并称其算术平方根()DX为随机变量X的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.()DX越小，X的稳定性越高，波动越小，取值越集中；()DX越大，X的稳定性越差，波动越大，取值越分散.性质：①2()().DaXbaDX??②若X服从两点分布，则()(1).DXpP??③若??pnBX,~，则()(1).DXnpP??5、正态分布正态变量概率密度曲线函数表达式：????Rxexfx?????,21222????，其中??,是参数，且?????????,0.记作2(,).N??如下图：专题八：统计案例1、回归分析回归直线方程bxay???，其中??????1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnxaybx????????????????????????X01...mP00nMNMnNCCC??11nMNMnNCCC??...mnmMNMnNCCC??数学模型化考试高分化-10-相关系数：????????12211niiinniiiixxyyrxxyy???????????1222211niiinniiiixynxyxnxyny??????????????????????2、独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1,x2}和{y1,y2}，其样本频数2?2列联表为：y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体的做法是，由表中的数据算出随机变量2K的值22()()()()()nadbcKabcdacbd??????，其中nabcd????为样本容量，K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大.随机变量2K越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。23.841K?时，X与Y无关；23.841K?时，X与Y有95%可能性有关；26.635K?时X与Y有99%可能性有关.专题九：坐标系与参数方程1、平面直角坐标系中的伸缩变换设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???????????).0(,yy0),(x,x:?????的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP???，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2、极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离||OM叫做点M的极径，记为?；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM?叫做点M的极角，记为?。有序数对),(??叫做点M的极坐标，记为),(??M.注：极坐标),(??与)Z)(2,(??kk???表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(???.若0??,则0???,规定点),(???与点),(??关于极点对称，即),(???与),(????表示同一点。如果规定0,02??????，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(??表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(??表示的点也是唯一确定的。极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数?、?对应惟一点P(?，?)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(?，?)（极点除外）的全部坐标为(?,?＋?k2)或（??，?＋?)12(?k），(?kZ)．极点的极径为0，而极角任意取．若对?、???xO图1M(,)??数学模型化考试高分化-11-的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定?>0，0≤?＜?2或?<0，??＜?≤?等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)xy，极坐标是(,)??，从图中可以得出：222cos,sin,tn(0).xyyxyaxx????????????4、简单曲线的极坐标方程(1)圆的极坐标方程①以极点为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是a??；（如图1）②以(,0)a)0(?a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是??cos2a?；（如图2）③以(,)2a?)0(?a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是??sin2a?；（如图4）(2)直线的极坐标方程①过极点的直线的极坐标方程是)0(?????和(0)???????.（如图1）②过点)0)(0,(?aaA，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是a???cos.化为直角坐标方程为xa?.（如图2）③过点(,)2Aa?且平行于极轴的直线l的极坐标方程是sina???.化为直角坐标方程为ya?.（如图4）5、柱坐标系与球坐标系(1)柱坐标：空间点P的直角坐标(,,)xyz与柱坐标(,,)z??的变换关系为：cossinxyzz????????????.(2)球坐标系空间点P直角坐标),,(zyx与球坐标),,(??r的变换关系：2222sincossinsincosxyzrxryrzr??????????????????.6、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标????cos?x??sin?y222???yx)0(tan??xxy???????????????yyxOMHN（直极互化图）数学模型化考试高分化-12-yx,都是某个变数t的函数?????),(),(tgytfx并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数yx,的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。7、常见曲线的参数方程（1）圆222()()xaybr????的参数方程为cossinxarybr?????????（?为参数）；（2）椭圆22221(0)xyabab????的参数方程为cossinxayb???????（?为参数）；椭圆22221(0)yxabab????的参数方程为cossinxbya???????（?为参数）；（3）双曲线22221(0)xyabab????的参数方程sectanxayb???????（?为参数）；双曲线22221(0)yxabab????的参数方程cotcscxbya???????（?为参数）；（4）抛物线22ypx?参数方程222xptypt?????(t为参数，1tant??）；参数t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.（6）过定点),(00yxP、倾斜角为()2????的直线的参数方程?????????sincos00tyytxx（t为参数）.8、参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使yx,的取值范围保持一致.参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过)(),(tgytfx??。根据t的取值范围导出yx,的取值范围.

干货 | 构建思维导图，解决立体几何中的平行证明

立体几何中，对学生来说，证明平行垂直的问题难易程度只有简单——困难，没有中间段位的题目。

题目条件较为简洁明了的题目基本上大部分人都能拿下，

但是题目条件不明显，并且条件繁杂的时候，得分就有明显的区分度。

基于多年的教学经验，发现学生在做立体几何平行证明时，基本上看到条件有什么就写什么，没有明确的方向。

因此本文构建立体几何平行和垂直的思维导图，让大家在证明时有“迹”可寻。

注意：审题时，根据问题把题目条件重新用数学符号罗列，是选择解题方向的关键。

例题分析

【题目背景】三棱台→上下底面平行且相似→面面平行的性质可得：对应边平行

如例题：

【总结反思】

1、本题设置可以从两个方向求证线面平行，反映高考解题方式的多样性。

2、平常证明线面平行除了以上两个方向：线线→线面、面面（性质）→线面，还可以考虑向量法证明：直线方向向量与平面法向量共线。

3、重新罗列题目相关条件决定解题方向。

4、不管证明线线平行、线面平行还是面面平行等，最关键是线线平行的证明：（几何法证明）

①（三角形）中位线

②（三角形）相似

③构造平行四边形

④性质（线面平行、面面平行）

巩固训练

【总结反思】

1、本题通过线面垂直的推论、性质证明线线垂直，要求对平行垂直有较深的认识，灵活运用性质与定理

2、平行与垂直的知识框架类似

-END-

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面面平行的判定

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