秦汉时期，随着数学知识的不断积累以及对于零散的材料逐渐加以总结和系统化、理论化，于是陆续出现了数学方面的专书。

《汉书?艺文志》记载有《许商算术》二十六卷，《杜忠算术》十六卷，这是最早见于著录的数学专著。这两部书都已失传了。秦汉时期传留至今的数学著作和涉及数学 *** 较多的著作，有著名的《九章算术》和《周髀算经》。此外，还有近年出土的简书《算数书》。这些书中包含了算术、代数和几何等丰富的数学内容，诸如复杂的整数和分数四则运算，比例问题，盈不足术，开平方和开立方术，方程术和正负术，面积和体积问题，勾股算术和勾股测量术，等等，其中有不少算法是具有世界意义的先进成就。这些成就表明，秦汉时期已经形成了独具特色的中国古典数学体系。

之一节“九数”

根据《周礼?地官?大司徒》记载，周朝设有称为“保氏”的官员，专门负责向贵族子弟传授所谓“六艺”。数学是六艺中的一门课程，共包括九项内容，称为“九数”。但什么是“九数”，现已难于考证。东汉郑玄注释《周礼》引郑众说，“九数”：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要，今有重差、夕桀、勾股。郑众所称“九数”中的“均输”，实际上是西汉时的赋税制度，不可能是《周礼》九数的内容。但从二郑注释可以了解到，西汉数学大致包含方田、粟米等九个方面，而重差、夕桀、勾股则是数学上的新的发展。

上述九项内容与《九章算术》的篇目基本相同。“旁要”和“夕桀”两项，今已不知所指。有人认为“旁要”指简单的勾股问题，“夕桀”二字系传抄有误，应为“互乘”，即解线性方程组的一种 *** 。东汉一些数学家整理数学著作，用“衰分”代替“差分”，用“勾股”代替“旁要”，于是编写成为著名的《九章算术》。正如刘徽所说，“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，九章的名称无疑是由《周礼》九数演变而来的。

“赢不足”，《九章算术》作“盈不足”，后皆依此。又，亦有人将“今有重差”断开，作“旁要、今有、重差、夕桀、勾股”，把“今有”作为一种数学 *** 。

秦汉简牍和《算数书》

在居延、武威、临沂银雀山、云梦睡虎地及江陵凤凰山等地出土的大批秦汉简牍中，可以找到相当多的与社会生产和生活密切相关的数学计算问题，但就数学 *** 而言，仅有九九表，整数和分数的算术运算，面积、体积和容积的计算等。这些 *** 一般都很简单，尚不足以反映秦汉数学的全貌。

1984年1月，在湖北江陵张家山出土了一批竹简，其中有数学著作《算数书》。据推断，《算数书》抄写于西汉初年（约公元前二世纪），成书时间应该更早。这是一部比较完整的，也是目前可以见到的中国最早的数学专著。全书采用问题集形式，共有六十多个小标题，九十多个题目，包括整数和分数四则运算，各类比例问题，各类面积和体积问题等。其中有些内容（如“合分”、“少广”等）与《九章》相近，甚至文句都很相似，说明二书间可能有某些传承关系，有些内容（如“相乘”、“增减分”等）是《九章》所没有的。在张家山简书汉律中，还发现有关于“均输律”的简文。过去一般认为汉武帝太初元年（公元前104年）郡国始置均输官，施行均输法，《九章算术》中的均输问题，应是在此之后写成的。现在看来，这一论断需要进行修改。这部比《九章算术》还早的竹简《算数书》的出土，是中国数学史上的一项重大发现，具有十分重要的意义。

《周髀算经》

《周髀算经》是著名的《算经十书》之一，主要是一部解释盖天说的天文学著作，大约成书于公元前一世纪，而其中很多内容可能要早得多。在数学方面，《周髀》记述了矩的用途，勾股定理及其在测量上的应用，其中包含了相似直角三角形对应边成比例的定理。

《周髀》开篇就以商高回答周公问题的形式提出“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”，即勾3股4弦5，这是勾股定理的一个特例。接着，又在陈子回答荣方的问题中提出“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日（太阳到观测者的距离）”，即a2+b2=c2，这是勾股定理的普遍形式。据研究，陈子可能是公元前七到六世纪的人。在西方，这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，把勾股定理的发现归功于公元前六世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯。《周髀算经》中测量太阳高远的陈子测日法，是勾股测量术的发展，又是重差术的先驱，比起西方“测量之祖”泰勒斯测量金字塔的成就是毫不逊色的。《周髀》中还有开平方和等差级数等，以及相当复杂的分数运算，用以解决古“四分历”的计算问题。唐代国子监添设算学馆，主要学习十部算经，《周髀》即是其中之一。

对于研究古代天文学史和数学史而言，《周髀》是传留至今的最早的宝贵文献。

《九章算术》

《九章算术》的成书中国古代数学名著《九章算术》，是我国最早的传世数学专著。《九章算术》与《周髀算经》一样，不是一人一时写成的。它经历了多次的整理、删补和增订，是几代数学家共同劳动的结晶。大约成书于东汉初年（公元一世纪）。《九章算术》采用问题集形式，列举了246个数学问题及其答案，并在若干具体问题之后，叙述这类问题的解题 *** 。全书分为下列九章：方田、粟米、衰（cuī）分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。方田章是关于土地面积的计算，包括有正方形、矩形、三角形、梯形、圆、环等面积公式，以及弓形面积和球冠表面积的近似公式。后两个公式比较简单，但误差很大。刘徽在《九章算术注》中曾提出用类似割圆术的 *** 推求弓形面积，但未能给出更好的结果。在这一章中还有分数的四则运算法则和约分、通分、求更大公约数 *** 。

在《九章》中，把更大公约数称为“等数”，求两个数的更大公约数要“以少减多，更相减损”，这种 *** 与欧几里得的辗转相除法是相同的，后来在解决一次同余组等问题上获得了更重要的应用。

《九章算术》在世界数学史上的贡献完整的分数运算法则，在印度迟至七世纪才出现，而欧洲则更晚。粟米章主要讲各种粮食交易折算的比例问题。所用 *** 称为“今有术”，即在成比例的四个数中，从三个已知数求第四个数的算法。在欧洲，这种算法称为“三率法”。关于比与比例的思想，古希腊就已经有了，但把比例和三率法联系起来却是迟至十五世纪的事情。衰分章是比例分配问题，即按等级分配物资或按一定标准摊派税收。

在这一章中还有等差数列和等比数列问题，但都用比例 *** 来解决。少广章讲的是已知正方形面积或正方体体积反求边长，即开平方和开立方的 *** 。其具体运算过程是世界上最早的关于开平方和开立 *** 则的记载。在运算中，要把算筹摆放几层，相当于用分离系数法列出与求解二次和三次方程，从而发展了筹算的位值制，并开辟了求解数字高次方程的途径。少广章中还有从已知球体积求直径的问题，给出一个误差很大的球体积公式。刘徽和祖氏父子在此基础上深入研究，终于获得了正确的结果。商功章主要是各种立体体积的计算。这些问题大都来源于营筑城垣、开凿沟渠、修造仓窖等土木和水利工程实际。其中包括长方体、棱柱、棱台、圆柱、圆锥、园台、楔形体等，都给出了正确的体积计算公式。缺点是圆周率取π＝3，这个数值误差很大。根据刘徽对商功章的注释可以知道，这些公式是通过具体模型的分解与合并来证明的，这说明中国古代的体积理论有很高的水平和不同于西方数学的独特的处理 *** 。均输章是平均赋粟和徭役问题，计算如何按人口多少、物价高低、路途远近等条件，合理摊派税收和民工等。包括正比、反比、复比例、连比例、等差级数等数学 *** 。

盈不足章属于盈亏类问题和算法。盈不足术是通过两次假设取值，然后根据公式求出未知数，其原理与现在求高次代数方程和超越方程近似解的线性插值法是相同的。在中世纪欧洲，这种 *** 叫做“双设法”或“契丹算法”，是欧洲符号代数学产生以前的一种主要代数 *** 。据考证，古代 *** 数学文献里，“契丹”一般指的是中国。因此，不少人认为，中国的盈不足术经 *** 传入欧洲，在西方数学领域起了重要的作用。方程章讲的是多元一次联立方程组（线性方程组）问题及解法。这是中国古代数学的一项重大成就。用算筹表示多元一次联立方程组，类似于由方程组各系数构成的矩阵，其解法与现在中学代数中的消元法基本相同。古希腊和印度也有过一些特殊的联立方程组解法，但没有一般解法，远不如方程章的算法完整。而在欧洲，提出同类问题要晚一千多年，直到十六世纪才有了加减消元法。

在这一章中还引入了负数概念，并给出了正负数加减运算法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”负数的出现，反映出对意义相反数量的正确理解，从而实现了数的范围的一次新扩充。这一项杰出创造，也是以中国为最早。印度于七世纪引进负数概念。欧洲十二世纪对负数有所认识，而直到十六世纪才有比较深刻的理解，这一点甚至影响到线性方程组的求解问题。勾股章主要内容是勾股定理的应用和简单测量问题。其中包括勾股容方和勾股容圆问题，以及二次方程x2＋ax＝b（a＞0，b＞0）的解法。关于勾股数的原术及刘徽注中的有关公式，是对整数论的重要贡献，也是世界数学史上整数勾股数研究的较早成果之一。《九章算术》及其中一些问题曾经传到日本、朝鲜、越南、印度、 *** 和欧洲，对世界古代数学发展产生了相当大的影响。《九章算术》已被译成英、俄、德、日等多种文字。

《九章算术》对中国古代数学的总结及其对后来的影响《九章算术》系统地总结了西周至秦汉时期我国数学的重大成就，是中国古代数学体系形成的显著标志。它的丰富多采的内容，大多来自生产和生活实践，集中反映了我国古代高度发展的数学水平，以及理论密切联系实际和以算法为核心的突出特点，并对后世数学发展起了十分重要的作用。

《九章算术》对中国数学的影响，正像欧几里得《几何原本》对西方数学的影响一样，是非常深刻的。中国历史上著名数学家如刘徽、祖冲之、李淳风、贾宪等，都曾经深入研究和注释过《九章算术》，并通过这种形式提出许多新概念和新 *** ，为推动中国数学发展作出了重大贡献。《九章算术》是中国古代数学流传最久，影响更大的一部代表作，也是历代进行数学教育的课本之一。唐代国子监算学馆规定十部数学著作作为学生的数学教科书，后代称为“算经十书”，《九章》就是其中的一部。

 public static int gcdV1(int a, int b) { int big = a>b ? a:b; int  *** all = a<b ? a:b; if (0==(big% *** all)) { // 边界条件 return  *** all; } for (int i= *** all/2; i>1; i--) { if (0==( *** all%i) && 0==(big%i)) { return i; } } return 1; }

 public static int gcdV2(int a, int b) { int big = a>b ? a:b; int  *** all = a<b ? a:b; if (0==(big% *** all)) { // 边界条件 return  *** all; } return gcdV2(big% *** all,  *** all); }

 public static int gcdV3(int a, int b) { if (a == b) { // 边界条件 return a; } int big = a>b ? a:b; int  *** all = a<b ? a:b; return gcdV3(big- *** all,  *** all); }

 public static int gcdV4(int a, int b) { if (a == b) { // 边界条件 return a; } if (0==(a&1) && 0==(b&1)) { return gcdV4(a>>1, b>>1)<<1; } else if (0==(a&1) && 0!=(b&1)) { return gcdV4(a>>1, b); } else if (0!=(a&1) && 0==(b&1)) { return gcdV4(a, b>>1); } else { int big = a>b ? a:b; int  *** all = a<b ? a:b; return gcdV4(big- *** all,  *** all); } }

5. 最小公倍数

在学习信息学数论部分知识点的过程中，有两个比较重要的算法，那就是欧几里得算法与扩展欧几里得算法。

今天，我们就带大家一起来了解一下这两个算法，看起来相似的算法到底分别是解决了什么问题呢？

欧几里得算法

在学习一种算法前，我认为我们首先应该知道，这种算法是要解决什么问题的。

小学就已经学过了两个数的更大公约数，而欧几里得算法就是为了求出两个数a、b的更大公约数的，这个更大公约数可以表示为gcd(a,b)。

欧几里得算法又称辗转相除法，这个名字已经揭示了它的主要思想：

欧几里德算法的思想基于辗转相除法的原理，辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，欧几里德算法说白了其实就是辗转相除法的计算机算法的实现而已。下面我们先说说辗转相除法，辗转相除法的内容：如果用gcd(a,b)来表示a和b的更大公约数，那么根据辗转相除法的原理，有gcd(a,b)=gcd(b,a mod (b))，其中mod()表示模运算，并且不妨让a>b,这样方便于模运算。

引理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

　　证明：

　　　　设 r=a%b , c=gcd(a,b)

　　　　则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质

　　　　r=a%b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c

　　　　而b=yc

　　　　可知：y 与 x-py 互质

　　　　证明：

　　假设 y 与 x-py 不互质

　　设 y=nk , x-py=mk , 且 k>1 （因为互质）

　　 将 y 带入可得

　　x-pnk=mk

　　x=(pn+m)k

　　 则 a=xc=(pn+m)kc , b=yc=nkc

　　那么此时 a 与 b 的更大公约数为 kc 不为 k

　　与原命题矛盾，则 y 与 x-py 互质

　　　　因为 y 与 x-py 互质，所以 r 与 b 的更大公约数为 c

　　　　即 gcd(b,r)=c=gcd(a,b)

　　　　得证

　　当a%b=0时，gcd(a,b)=b

　　这样我们可以写成递归形式

它的函数代码只有一行，简单便捷，复杂度O(log n)：

代码

int gcd(int a,int b)//欧几里得算法 时间复杂度：O(logn)

{

if(!b) return a;

else return gcd(b,a%b);

}

int gcd(int a,int b)//简化版欧几里得算法 时间复杂度：O(logn)

{

return b?gcd(b,a%b):a;//一行代码就是爽

}

拓展欧几里得算法

用来在已知的a、b中求解一组x、y，使得ax+by=gcd(a,b)成立（根据数论相关定理，这组解一定存在）。

了解一下贝祖定理：若存在a、b是整数，则必存在整数x、y，满足ax+by=gcd(a,b)。

换句话说，如果ax+by=m有解，那么m一定是gcd(a,b)的若干倍。（可以来判断一个这样的式子有没有解）

有一个直接的应用就是 如果ax+by=1有解，那么gcd(a,b)=1；

要求出这个更大公因数gcd(a,b)，我们最容易想到的就是古老悠久而又相当强大的欧几里得算法：

但是，对于上面的式子ax+by=m来说，我们并不仅仅想要知道有没有解，而是想要知道在有解的情况下这个解到底是多少。

所以，扩展欧几里得

当到达递归边界的时候，b==0，a=gcd(a,b) 这时可以观察出来这个式子的一个解：a*1+b*0=gcd(a,b)，x=1,y=0，注意这时的a和b已经不是最开始的那个a和b了，所以我们如果想要求出解x和y，就要回到最开始的模样。

初步想法：由于是递归的算法，如果我们知道了这一层和上一层的关系，一层一层推下去，就可以推到最开始的。类似数学上的数学归纳法。

假设当前我们在求的时a和b的更大公约数，而我们已经求出了下一个状态：b和a%b的更大公因数，并且求出了一组x1和y1使得 b*x1+(a%b)*y1=gcd

（注意在递归算法中，永远都是先得到下面一个状态的值）

这时我们可以试着去寻找这两个相邻状态的关系：

首先我们知道：a%b=a-(a/b)*b；带入：

b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1) = gcd 发现 x = y1 , y = x1 – a/b*y1

这样我们就得到了每两个相邻状态的x和y的转化，就可以在求gcd的同时对x和y进行求值了。

代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cmath>

using namespace std;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//扩展欧几里得算法

{

if(b==0) {

x=1;y=0;

return a; //到达递归边界开始向上一层返回

}

int r=exgcd(b,a%b,x,y);

int temp=y; //把x y变成上一层的

y=x-(a/b)*y;

x=temp;

return r; //得到a b的更大公因数

}

主要应用：

1、乘法逆元

对于缩系中的元素，每个数a均有唯一的与之对应的乘法逆元x，使得ax≡1(mod n)
一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,n)=1，此时逆元唯一存在
逆元的含义：模n意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。

扩展欧几里得解法：

给定模数m，求a的逆相当于求解ax=1(mod m)
这个方程可以转化为ax-my=1
然后套用求二元一次方程的 *** ，用扩展欧几里得算法求得一组x0,y0和gcd
检查gcd是否为1
gcd不为1则说明逆元不存在
若为1，则调整x0到0~m-1的范围中即可

代码

typedef long long ll;

void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){

if(!b){ d=a; x=1; y=0;}

else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }

}

ll inverse(ll a,ll n){

ll d,x,y;

extgcd(a,n,d,x,y);

return d==1?(x+n)%n:-1;

}

2、求解线性同余方程

来源：https://www.cnblogs.com/lr599909928/p/12704583.html

代码

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cmath>

#include <algorithm>

#include <stack>

#include <queue>

#include <vector>

#include <map>

#include <set>

#include <unordered_set>

#include <unordered_map>

#define ll long long

#define fi first

#define se second

#define pb push_back

#define me memset

const int N = 1e6 + 10;

const int mod = 1e9 + 7;

using namespace std;

typedef pair<int,int> PII;

typedef pair<long,long> PLL;

int exgcd(int a,int b,int &x1,int &y1){

int x2,y2;

if(b==0){

x1=1,y1=0;

return a;

}

int d=exgcd(b,a%b,x2,y2);

x1=y2,y1=x2-a/b*y2;

return d;

}

int main() {

ios::sync_with_stdio(false);

int n;

cin>>n;

while(n--){

int a,b,m;

int x1,y1;

cin>>a>>b>>m;

int d=exgcd(a,m,x1,y1);

if(b%d) printf("impossible\n");

else printf("%lld\n",(ll)x1*(b/d)%m);

}

return 0;

}

3、求解不定方程

对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

上面已经列出找一个整数解的 *** ，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)

至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，

p * a+q * b = c的其他整数解满足：

p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;

代码如下：

代码

bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)

{

int d=exgcd(a,b,x,y);

if(c%d)

return false;

int k=c/d;

x*=k; y*=k; //求得的只是其中一组解

return true;

}

声明：部分资料来源于 *** ，侵删。

很多小伙伴一提到数学

表面虽保持镇静

心中早已波涛汹涌······

“数学好难······”

“宝宝心里苦······”

其实

数学之美就在我们身边

不信您看↓↓

当雪花飘落，蝴蝶飞过

生活中的美扑面而来

雪花△

蝴蝶△

星系△

它们无一例外地

遵守着数学中的对称准则

对称美无处不在

中国科学院院士

陈省身数学奖获得者 张继平

《开讲啦》“现场教学”

让我们跟随他

走进一堂特殊的数学课

“我们生活的世界，

受千千万万的自然规律支配，

各种美的背后都隐藏着规律。

数学作为科学的语言，

最重要的作用，

就是找到和表达那些规律。”

“数学不发明定理，数学只发现定理。”

从这一层面而言

数学是发现美和塑造美的 *** 之一

达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》

想必您一定不陌生

其中就蕴含了

符合数学“黄金分割螺旋”概念的

“达·芬奇密码”

上海东方明珠

塔高468米

上球体到塔底的距离为289.2米

二者之比

非常接近“黄金比例”0.618

广州塔

因独特的螺旋曲线

被形象地称为“小蛮腰”

这一建筑

运用的正是数学中的

“单叶双曲面几何结构”

数学的奇妙

有没有震撼到您？

学习数学也要“画人先画骨”

“画人先画骨”

是绘画的一个重要法则

在数学领域同样适用

“骨在数学领域

代表着‘初等对称多项式’，

这样的定理我觉得是妙不可言的。”

数学是自然科学的基础

也是重大技术创新发展的基础

做好数学教育

加强数学研究

已经被提到了前所未有的层面

但对于不少人来说

数学却是学生时代难言的痛······

如何让学生

从畏惧数学变为喜欢数学呢？

作为北大数学教育的改革者之一

张继平教授在节目中分享了

消除学生“数学焦虑”的教育 *** ——

用论文取代考试

让学生注重掌握数学 *** 和数学精神

而不是死记硬背数学公式

张继平教授说

他当年推行的数学通识课不用考试

只需要学生们结合自己的感悟

写一篇数学论文即可

这一改革

让很多原本害怕数学的学生

彻底放下了包袱

数学选修课的退课率大大降低

数学家看世界的视角为何不同？

数学家到底有何特质？

对于这个问题

张继平教授说：

“数学是对人类智力的挑战。”

数学家不但要追求真理

还要为真理追求最简洁的表达方式

让它美起来

所以数学家对他所在乎的事

要求都是极高的

张教授分享了一个“极致”的例子

对于数学家来说

一个合格的厕所是要有黑板的

这样

即便在卫生间

数学家也可以思考和计算

至于如何培养孩子对数学的兴趣

张教授认为

处在人生什么阶段

就要先把这个阶段的任务完成

不必过分施压

要根据孩子的兴趣爱好

做有效的引导

让孩子真正地爱上学习

中国古代数学算法世界领先

中国古代数学

就是一部算法大全，妙不可言

张继平说

高等数学中的“辗转相除法”

是给出两个整数或者两个多项式

求它的更大公因子

而这个算法

在《九章算术》中就曾提到

而且解法算法很精妙

“实际问题数学化，数学问题代数化，代数问题机械化，中国古代数学已经开辟，或者奠定了数学机械化的道路，这是很伟大的。”

看完整视频↓

听张继平教授别样的数学课！

1、和差倍问题

2、年龄问题的三个基本特征

①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

③两个人的年龄的倍数是发生变化的；

3、归一问题的基本特点

问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

关键问题：

根据题目中的条件确定并求出单一量；

4、植树问题

5、鸡兔同笼问题

基本概念：

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路：

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：找出总量的差与单位量的差。

6、盈亏问题

基本概念：

一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。

基本思路：

先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。

基本题型：

①一次有余数，另一次不足；

基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

②当两次都有余数；

基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

③当两次都不足；

基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

基本特点：

对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：

确定对象总量和总的组数。

7、牛吃草问题

基本思路：

假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：

原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：

确定两个不变的量。

基本公式：

生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

8、周期循环与数表规律

周期现象：

事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

周期：

我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

关键问题：

确定循环周期。

闰 年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；

平 年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9、平均数

基本公式：

①平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数

总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数

基本算法：

①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②

10、抽屉原理

抽屉原则一：

如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：

①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1

观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：

如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:

①k=+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=n/m个物体：当n能被m整除时。

理解知识点：

表示不超过X的更大整数。

例<4.351>=4；<0.321>=0；<2.9999>=2；

关键问题：

构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。

11、定义新运算

基本概念：

定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：

严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：

正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：

①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

12、数列求和

等差数列：

在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念：

首项：等差数列的之一个数，一般用a1表示；

项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．

基本思路：

等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：

通项公式：an = a1+（n－1）d；

通项＝首项＋（项数一1)×公差；

数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；

数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；

项数公式：n= (an+ a1)÷d＋1；

项数=（末项-首项）÷公差＋1；

公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；

公差=（末项－首项）÷（项数－1）；

关键问题：

确定已知量和未知量，确定使用的公式；

13、二进制及其应用

十进制：

用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。

=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100

注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）

二进制：

用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。

（2）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7

+……+A3×22+A2×21+A1×20

注意：An不是0就是1。

十进制化成二进制：

①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。

②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此 *** 一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。

14、加法乘法原理和几何计数

加法原理：

如果完成一件任务有n类 *** ，在之一类 *** 中有m1种不同 *** ，在第二类 *** 中有m2种不同 *** ……，在第n类 *** 中有mn种不同 *** ，那么完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不同的 *** 。

关键问题：

确定工作的分类 *** 。

基本特征：

每一种 *** 都可完成任务。

乘法原理：

如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种 *** ，不管第1步用哪一种 *** ，第2步总有m2种 *** ……不管前面n-1步用哪种 *** ，第n步总有mn种 *** ，那么完成这件任务共有：m1×m2.......×mn种不同的 *** 。

关键问题：

确定工作的完成步骤。

基本特征：

每一步只能完成任务的一部分。

直线：

一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

直线特点：

没有端点，没有长度。

线段：

直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。

线段特点：

有两个端点，有长度。

射线：

把直线的一端无限延长。

射线特点：

只有一个端点；没有长度。

①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；

②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；

③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

15、质数与合数

质数：

一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。

合数：

一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

质因数：

如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

分解质因数：

把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：

N= ，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1<a2<a3<……<an。

求约数个数的公式：

P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

互质数：

如果两个数的更大公约数是1，这两个数叫做互质数。

16、约数与倍数

约数和倍数：

若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

公约数：

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中更大的一个，叫做这几个数的更大公约数。

更大公约数的性质：

1、 几个数都除以它们的更大公约数，所得的几个商是互质数。

2、 几个数的更大公约数都是这几个数的约数。

3、 几个数的公约数，都是这几个数的更大公约数的约数。

4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的更大公约数等于这几个数的更大公约数乘以m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；

18的约数有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公约数有：1、2、3、6；

那么12和18更大的公约数是：6，记作（12，18）=6；

求更大公约数基本 *** ：

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的更大公约数。

公倍数：

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

12的倍数有：12、24、36、48……；

18的倍数有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍数有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍数是36，记作<12，18>=36；

最小公倍数的性质：

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数更大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本 *** ：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的 ***

17、数的整除

基本概念和符号：

1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；

整除判断 *** ：

1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

整除的性质：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

18、余数及其应用

基本概念：

对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。

余数的性质：

①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

19、余数、同余与周期

同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

同余的性质：

①自身性：a≡a(mod m)；

②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；

③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；

④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；

⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；

⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；

关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

费尔马小定理：

如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

20、分数与百分数的应用

基本概念与性质：

分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。

分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

常用 *** ：

①逆向思维 *** ：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。

②对应思维 *** ：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

③转化思维 *** ：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理 *** 是确定不同的标准为一倍量。

④假设思维 *** ：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。

⑤量不变思维 *** ：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。

⑥替换思维 *** ：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

21、分数大小的比较

基本 *** ：

①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。

②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。

③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。

⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上 *** 外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）

⑥转化比较 *** ：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。

⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。

⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。

⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。

22、分数拆分

将一个分数单位分解成两个分数之和的公式

23、完全平方数

完全平方数特征：

1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余0或余1；反之不成立。

4.约数个数为奇数；反之成立。

5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。

6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：

X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：

（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：

（X-Y）2=X2-2XY+Y2

24、比和比例

比：

两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。

比值：

比的前项除以后项的商，叫做比值。

比的性质：

比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。

比例：

表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性质：

两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。

正比例：

若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。

反比例：

若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。

比例尺：

图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配：

把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。

25、综合行程

基本概念：

行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.

基本公式：

路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

关键问题：

确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

逆水行程=（船速-水速）×逆水时间

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

主要 *** ：画线段图法

基本题型：

已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。

26、工程问题

基本公式：

①工作总量=工作效率×工作时间

②工作效率=工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率

基本思路：

①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；

②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.

关键问题：

确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。

27、逻辑推理

条件分析—假设法：

假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。

条件分析—列表法：

当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。

条件分析—图表法：

当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。

逻辑计算：

在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。

简单归纳与推理：

根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和 *** ，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。

28、几何面积

基本思路：

在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。

常用 *** ：

1.连辅助线 ***

2.利用等底等高的两个三角形面积相等。

3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。

4.利用特殊规律

①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）

②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。

③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。

29、时钟问题—快慢表问题

基本思路：

1、按照行程问题中的思维 *** 解题；

2、不同的表当成速度不同的运动物体；

3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；

4、时间是标准表所经过的时间；

5、合理利用行程问题中的比例关系；

30、时钟问题—钟面追及

基本思路：

封闭曲线上的追及问题。

关键问题：

①确定分针与时针的初始位置；

②确定分针与时针的路程差；

基本 *** ：

①分格 *** ：

时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。

②度数 *** ：

从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转 360/60度，即6°，时针每分钟转360/12X60度，即1/2度。

31、浓度与配比

经验总结：

在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。

溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。

溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。

基本公式：

溶液重量=溶质重量+溶剂重量；

溶质重量=溶液重量×浓度；

浓度= 溶质/溶液×100%=溶质/（溶剂+溶质）×100%

经验总结：

在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

32、经济问题

利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；

卖价=成本×（1+利润的百分数）；

成本=卖价÷（1+利润的百分数）；

商品的定价按照期望的利润来确定；

定价=成本×（1+期望利润的百分数）；

本金：储蓄的金额；

利率：利息和本金的比；

利息=本金×利率×期数；

含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；

33、不定方程

一次不定方程：

含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；

常规 *** ：

观察法、试验法、枚举法；

多元不定方程：

含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；

多元不定方程解法：

根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；

涉及知识点：

列方程、数的整除、大小比较；

解不定方程的步骤：

1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；

技巧总结：

A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；

B、消元技巧：消掉范围大的未知数；

34、循环小数

把循环小数的小数部分化成分数的规则：

①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。

分数转化成循环小数的判断 *** ：

①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。

②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。

### R语言
#q与r是整数，q >= r
while(r != 0)
{
 t = q%%r 
 q = r
 r = t #带余除法的余数
}
q #此为最终结果

标签： 辗转相除法 公因数 原理 为什么 更大