导语
1963年，洛伦兹用蝴蝶效应形象地展现出了混沌的魅力：亚马逊热带雨林中的一只蝴蝶偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。正所谓“失之毫厘，谬以千里”，混沌理论告诉我们，即使人类掌握了确定性规则，依旧无法拥有预测未来的能力。本文从混沌的天气预测实验开始，介绍了混沌理论和实例：从分岔到分形，从树木、血管这些自然界的实例，到量子混沌再到人类的意识。
关键词：混沌理论，分形，量子混沌，意识
Irfan Bashir, Hamid Rashid Shah | 作者
牛晓杰 | 译者
梁金 | 审校
邓一雪 | 编辑
目录
1. 一个混沌理论的实验
2. 解释混沌理论：混沌科学
3. 什么是混沌理论？
4. 混沌斑图
5. 混沌理论举例
6. 量子混沌
7. 混沌理论与意识
1. 一个混沌理论的实验
在60年前一个寒冷的冬天，爱德华·洛伦兹正在他的电脑上进行一个天气模式模拟的实验。在输入了一些数字之后，他出去喝了杯咖啡。等到他10分钟后再次回来的时候，发现一些古怪的结果。由此他发现了后来著名的混沌理论——一个将永远改变科学的发现！
他的电脑模型是12个变量的组合，每一个变量代表天气的一个方面，诸如温度和风速。洛伦兹当时正在重复他之前的模拟。然而，当洛伦兹把他程序里的变量从0.506127四舍五入成0.506时，未来两个月的整个天气预测模式都完全改变了。在正常参数下，给定相同的起点，天气每次都会以相同的模式展开。而给定一个稍微不同的起点，天气应该以稍微不同的模式展开。四舍五入造成的误差肯定是微不足道的，它不应该造成什么大规模的影响。
在那个时期，科学的假设是，只要了解物理定律和系统的初始条件，就可以计算出一个封闭系统的大致行为。科学思维是，另一个星球上树叶的掉落不会影响到地球上台球的运动。人们相信，小的变化不会造成大的影响。法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在1814年出版的《概率哲学论文》（ ）中说，如果我们知道宇宙目前的一切，那么“没有什么是不确定的，未来就像过去一样，会毫无保留的呈现在‘我们’眼前”。
但是，在洛伦兹的特殊微分方程系统中，随着时间的推移，小的错误会造成深不可测的变化。这些问题凝视着他，但他并没有答案。是否简单的模型可以产生显著的随机性？是否在一个系统中的简单模型会在另一个系统产生复杂性？是否随机性并不是模糊测量的副产品，而是一种常态？是否混沌并不是人类观察局限性的结果，而就是自然的底层法则？
图.运行了两个月的两个模拟天气斑图
这个出乎意料的结果使洛伦兹意识到，小的改变可以造成大的影响——这是对自然运转方式的强有力洞察。这个想法被称为“蝴蝶效应”。混沌效应或者蝴蝶效应就是用来表述“小的改变导致整个混沌系统重大变化”的观点。蝴蝶效应这个术语是洛伦兹提出的，他假设一只远处的蝴蝶拍打翅膀的行为可以引起一系列的复杂事件，最终导致其他地方的一场龙卷风。洛伦兹意识到，对初始条件的敏感性是导致非周期性行为的原因。这种效应后来获得了一个专有名词：初始条件依赖敏感性。然而，看一下民间传说就会发现，古代的诗人已经知道并回答了什么是混沌理论：
“因为少了一颗马蹄钉，而丢了一个马蹄铁。
因为丢了一个马蹄铁，而少了一匹战马。
因为少了一匹战马，而缺了一个骑兵。
因为缺了一个骑兵，而输了一场战役。
因为输了一场战役，而灭亡了整个国家。”
2.解释混沌理论：混沌科学
正如詹姆斯·格雷克（James Gleick）在他的书《混沌》（）中所说，“在混沌开始的地方，经典科学就止步了。只要世界上有物理学家在试图探究自然规律，TA就会在面对大气中的无序状态、动荡的海洋、野生动物种群的波动、心脏和大脑的振荡时感到特别的无知。自然界有其不规则、不连续和不稳定的一面。”
混沌科学孕育了自己的语言，包括分形、湍流、周期性、分岔、奇异吸引子、蝴蝶效应和敏感依赖等词汇。这些词代表了一个规则不同的世界——事物分支成奇怪的结构，遵循一种可以知道但不可能精确量化和预测的斑图和周期性。如果通过时空连续体的棱镜来参考，那么这个混沌世界的一切就好像是折回自身，同时成为未来和过去——它从自身汲取其周期性。混沌不是对秩序的拒绝，而是秩序的自然表达。
混沌科学似乎可以回答一些人类苦苦追寻的最基本问题。生命是如何开始的？什么是湍流？最重要的是，在一个创造更多无序的熵支配的宇宙中，秩序如何产生？以及古老的科学问题：微观世界如何将自己编织进宏观世界。孤立地研究一个原子或神经元时，其行为方式是一样的，但数十亿个原子和神经元的行为方式却完全不同。这是一门解开周期性和不可预测性之间联系的科学。
3.什么是混沌理论
混沌的核心是对非线性的研究，这意味着玩游戏的行为有可能改变规则本身。非线性使得对非线性事物的理解变得困难，因为不同变量之间存在错综复杂的变化性，从而创造了丰富而复杂的行为。例如，人们不能给摩擦力定义一个恒定的重要性，因为它的重要性取决于速度，而速度又取决于摩擦力。因此，量化非线性就像解一个魔方，每次移动它时颜色都会改变。
让我们考虑一些最常见的日常例子：
3.1 预测天气
过去两个世纪技术发生了重大变革，短期内的天气预测水平已经大大提升。但是长期天气预测仍然是棘手的问题。大部分现代天气预测模型，甚至是人工智能驱动的模型，都是通过分布在10-200公里范围内的地理监测点的网格进行预测。为了确定天气，气象学家使用一系列微分方程来分析原始数据，其中包括露水强度、温度、风、压力以及其他变量。但是地面站和卫星不能观察到所有的东西，因此对于一些起始数据，例如水分，必须通过猜测给定数值。大多数情况下，这种猜测是可靠的。
但是，假设我们能够将设备升级到足够精确的水平，并且用间隔仅几英尺的传感器覆盖整个地球；假设每个传感器都能给出气象学家想要观察的完全准确的读数；假设一台由人工智能驱动的量子计算机能够接收所有这些读数，并计算出以分钟为间隔的天气模式。那会发生什么？如果以上所有假设成立，我们是否能够绝对准确地预测天气？
我们将观察到的是，我们仍然无法预测特定地点或长期的天气模式。传感器之间的空间将隐藏微观波动——它一直延伸到量子范围，但是计算机并不知道。这些其实只是相比于平均水平的微小偏差。但在几分钟内，这些波动已经在几英尺外造成了微小的错误。很快，乘数效应（Multiplier Effect）将随之而来，错误将累计，甚至会扩展到10英尺的距离范围。因此，这使得人们不可能绝对准确地预测天气。
3.2 一杯热咖啡与混沌
热液体是受混沌法则支配的许多流体力学过程之一。以一杯简单的咖啡为例，我们怎样才能计算出一杯咖啡究竟会以怎样的速度冷却下来？如果咖啡只是热的，它的热量会在没有任何流体力学运动的情况下耗散，因此不会产生湍流。但是如果温度上升到咖啡开始沸腾，会发生什么？
如果你仔细观察过一杯热咖啡，会立即注意到在饮料表面有一条暗线勾勒出的土灰色漩涡区域。这些旋转的斑图被称为对流单元。它标志着热咖啡上升到表面，而稍微冷却的咖啡被引力拉向底部的区域。对流是一种常见的过程，当较热的空气或液 *** 于较冷的下层时就会发生。这就是咖啡杯中发生的情况：上面的 *** 蒸发而冷却，随着冷却也变得更重，被重力拉下底部。同时，底部的咖啡中较热的部分上升到顶部以取代它。
漩涡可能很复杂。但最终我们能够知道这个系统会变成什么。随着热量的进一步消散，同时摩擦使移动的液体变慢，杯中咖啡的内部运动肯定会停止。洛伦兹在评论这一现象时曾说："我们可能难以提前一分钟预测咖啡的温度，但提前一小时预测它应该没有什么困难。“
根据教科书上的对流模型，热的底部和冷的顶部之间的温度差控制着系统的流动。简单地说，热量向顶部移动，但并不干扰液体保持静止的趋势。
然而，当开始加热时可以观察到，随着液体变得更热，它的体积扩大，密度降低，使其轻到足以克服摩擦并向表面上升。但如果热量进一步增加，液体的行为会变得更加复杂。卷动的液体开始摇晃，为湍流的形成做准备。
因此，一个看似稳定的系统，当面对微小的变化时，如加热仅0.001度，就可以在几秒钟内从有序对流过渡到湍流混沌——即使这种系统是确定性的，它的最终结果可以预测。然而，在短期内，系统的确定性趋势必须向混沌让步，使得诸如“一杯咖啡的温度”这样简单的事情无法预测。这样的系统被称为遵循确定性的混沌，其行为原则上是可以被预测的，但“随着时间的推移”或在更小的“时间”尺度，其不可预知性会出现。
4.混沌斑图
自然界中的混沌斑图就在我们身边。这些斑图包括但不限于流体中的分形和湍流，螺旋形或者二维曼德布洛特 *** 形，或像洋葱中的嵌套层那样普遍的事物。
自然界中的混沌是一项迷人的研究。从最小的雪花到庞大的星系，它的每一点、每个声音和景象都在诉说着自己的故事。这不禁令人着迷，因为它有如此多的层次可以探索！从由不同材料组成的建筑结构（如砖或玻璃）内的音乐回声，一直到诸如包含后代遗传信息 DNA 的细胞等更小的结构，混沌无处不在。
大自然是一幅用秩序和混沌的图案编织的毯子。让我们探索其中的一些斑图。
4.1 洛伦兹系统：混沌理论中的蝴蝶效应和奇异吸引子
在洛伦兹观察到天气模式对初始条件的敏感依赖后，他对混沌背后的数学产生了浓厚的兴趣，并由此发现了著名的洛伦兹方程。1963年3月，洛伦兹写道，他想引入求解确定性非周期流和有限幅度对流（确定性混沌）的常微分方程。洛伦兹发现，当将傅立叶级数应用于瑞利的对流方程时，除了三个变量外，其他变量都趋于零。这三个变量表现出不规则的、明显的非周期效应。他利用这些变量构建了一个基于地球大气二维表示的简单模型。
他提出了一组对流微分方程，并将其简化到极致。尽管洛伦兹系统没有完全模拟对流，但它能够抽象出现实世界中对流的一个特征：热流体上升并向四处流动的循环运动过程。
洛伦兹方程如下：
dx/dt = X’ = σ(y ? x)
dy/dt = Y’ = ρx ? y ? xz
dz/dt = Z’ = xy ? βz
洛仑兹方程包含三个参数：σ， ρ， β。接下来，我们均假设这些参数都是正的。在下面所有的数值计算中，我们取 σ = 10.0， β = 8/3，ρ 是变量。这里 x、y、z 并不是指空间中的坐标。x代表平面上的对流翻转，y和z分别代表水平和垂直的温度变化。该模型的参数为σ，代表流体粘度与其热导率之比；ρ 代表大气平面顶部与底部的温差；β 代表平面的宽度与高度之比。
洛伦兹的电脑记录下三个变量的变化值：0-10-0；4-12-0；9-20-0；16-36-2；30-66-7；54-115-24；93-192-74。随着预设时间间隔的推移，这三个数字先上升后下降。洛伦兹用每组的 xyz 值作为坐标绘制数据图。这副图显示了当一个变量经历有限时间内的变化时，混沌系统如何随时间变化。过去对系统的传统预期是，它要么会稳定下来，进入一个稳态，速度和温度的变量将不再变化；要么可能会形成一个循环，进入一种周期性重复的行为模式。而这两者都没有在洛伦兹系统里出现。
洛伦兹系统
这幅图形成了一种无限复杂的感觉，同时包含了混沌和秩序。它总是在一定的范围内运转，但与此同时，它从不重复自己曾经出现过的状态。生成的混沌系统可预测地朝着相空间中的吸引子移动——但出现的不是点或简单的环，而是奇异吸引子。奇异吸引子是混沌系统在特定相空间中的一种表现，但吸引子也存在于许多非混沌的动力系统中。
它的形状看起来像个三维的双螺旋，看起来像一只蝴蝶。因此被称为蝴蝶效应。
洛伦兹吸引子（蝴蝶效应）微分方程在 Java 中的示例实现：
int i = 0;
double x0, y0, z0, x1, y1, z1;
double h = 0.01, a = 10.0, b = 28.0, c = 8.0 / 3.0;
x0 = 0.1;
y0 = 0;
z0 = 0;
for (i = 0; i < N; i++) {
x1 = x0 + h * a * (y0 – x0);
y1 = y0 + h * (x0 * (b – z0) – y0);
z1 = z0 + h * (x0 * y0 – c * z0);
x0 = x1;
y0 = y1;
z0 = z1;
// Printing the coordinates
if (i > 100)
System.out.println(i + ” ” + x0 + ” ” + y0 + ” ” + z0);
}
洛伦兹微分方程组证明了混沌中隐藏着秩序。这种混沌本身并不能简化为随机性。混沌的核心终于可以被数学的诗意语言表达了。混沌背后的数学理论表明，宇宙是由复杂的系统控制的，这些系统同时产生了湍流和相干——无论是木星的大红斑还是物种种群。蝴蝶效应就是混沌的体现。
4.2 费根鲍姆常数和混沌理论
混沌的数学表示确立了非线性的重要性，这一特性支配着大多数自然系统，包括种群数量的增加。例如，如果1000只大象的群体每年净增10个成员，那么种群数量的增加可以在图表上表示为一条直线。然而，一群小鼠如果每年增加一倍的种群数量，将有一个非线性的增长模式——该图可以表示为一条上升的曲线。十年后，由于增长的非线性特征，两个小鼠群体（一个有22只小鼠，另一个有20只小鼠）之间的差异将膨胀到2000多只。因此，非线性增长模式常常导致动物种群规模混乱地上升和下降。
事实上，理解混沌理论更好的 *** 之一就是观察动物种群。假设方程 x_next = rx (1-x) 代表种群的增长。在这里，x_next 表示下一年的种群数量，x 表示现有年份的种群数量；r 表示增长率，(1-x)表示使增长保持在一定范围内的因素：当 x 增加时，(1-x) 下降。在这里，种群数量被表示为0到1之间的一个分数，其中0代表灭绝，1代表物种可能达到的更大种群数量。如果种群数量在一年内下降到某一水平以下，那么明年就有可能增加。但是，如果种群数量增长过快，物种内部对资源的竞争就会趋向于将其限制在一定范围内。
经过多次初始波动后，总体将达到平衡。当r值很小时，种群逐渐灭绝。对于较大的r值，总体可能收敛于单个值。对于更大的值，它可能在两个值之间波动，然后是四个值，以此类推。但对于更大的值，一切都变得不可预测。代表种群函数的线，最初是单一的，然后分裂成两个、四个...... 然后进入混沌。这种情况的种群数量-r曲线产生了有趣的结果。
当r在0和1之间时，种群最终灭绝。在 r = 1 到 r = 3 之间，种群数量收敛到单一值。在r = 3.2左右时，图分叉（分成两个），因为在r的这个值处，种群数量不收敛于单个值，而是在两个值之间波动。r值越大，分岔速度越快；在连续的周期翻倍之后，图像很快变得混沌。这意味着，对于r的相应值，种群数量在随机值之间不可预测地波动，从不表现出周期性行为。然而，仔细观察会发现，在混沌部分之间的某些点时，图会变得可预测。这些可以被称为“混沌中的秩序之窗”。在最初的混沌行为之后，混沌突然消失，留下一个稳定的三周期。然后继续加倍——6, 12, 24，再次进入混沌状态…...图中的混沌行为实际上是分形的。它展示了在植物和动物种群调节的简单模型中固有的非线性如何导致混沌的行为。
超过某一点，周期性就会让位给混沌，波动根本就不会稳定下来。图中的整个区域都被完全遮住了。如果你继续观察一个由这种最简单的非线性方程组支配的动物种群，你会发现，复杂性被隐藏为随机性。然而，复杂性并不意味着随机性。对于动物种群数量的每一个疯狂的、不可控的变化，我们观察到有一连串的事件年复一年地出现。即使参数在上升，这意味着非线性推动系统越来越难，但会突然出现一个具有固定周期的窗口：一个奇数周期，如3或7。种群数量变化的模式在3年或7年的周期中重复出现。然后，周期加倍的分叉以更快的速度重新开始，迅速通过3、6、12......或7、14、28......的周期，然后再次中断，重新进入混沌。
种群分岔图
放大后可以看到，上图中的混沌部分无休止地重复着同样的模式。分形是永无止境的。分形是无限复杂的斑图，在不同的尺度上具有自相似性。它们是通过在一个持续的反馈循环中不断重复一个简单的过程而产生的。从本质上讲，分形是一种永远重复的斑图，分形的每一部分，无论你如何放大，或缩小，它看起来都与整个图像非常相似。在递归的驱动下，分形是动态混沌系统的图像——它是混沌的图片。正如詹姆斯·格雷克（James Gleick）所说，"这是一种看待无限的方式"。
经过调查，数学家米歇尔·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）发现，当他用每个分岔段的宽度除以下一个分岔段的宽度时，它们的比率会收敛到一个常数，被称为费根鲍姆常数，即4.6692016090。对于所有的分叉图，无论他使用什么函数，这个数字都是一样的。尺度是关键。费根鲍姆认为，（跨越不同范围的）尺度是理解湍流等复杂现象的关键。费根鲍姆提出了一种称为周期倍增的情况来描述规则动力学和混沌之间的转变。他的建议是基于1976年生物学家罗伯特·M·梅（Robert M. May）提出的 logistic 映射，梅在研究动物种群的繁荣与萧条模式时发现了分岔。
随着时间的推移，复杂性的规则也被证明是普遍的，并适用于所有的动力系统，不管它们的组成部分是什么。这种行为可以通过一个简单的系统观察到，比如水龙头滴水。最初，水会一滴一滴地落下。随着水流的加速，它会成对地滴落，以此类推，然后它遵循一种混沌的行为。这种类型的行为适用于无数的混沌系统——从滴水到异常复杂的曼德布洛特 *** 。混沌无处不在。
4.3 曼德布洛特 *** 和混沌理论
出生于波兰的法裔美国人伯努瓦·曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）是一位对实用科学有广泛兴趣的博学者。现在人们对分形几何的兴趣很大部分是他的功劳。他展示了分形如何在数学和自然界中呈现。事实上，分形已经被用来描述经济、金融、股票市场、天文学和计算机科学的各种行为。他在分形几何学上的贡献为他赢得了“分形之父”的称号。
1961年，曼德布洛特在美国纽约州约克城高地托马斯·J·沃森研究中心担任研究科学家。作为一名尚未找到自己专业定位的年轻聪明学者，曼德布洛特正是那种IBM *** 时所渴求的特立独行的知识分子。 *** 任务很简单：IBM参与了通过 *** 线传输计算机数据的工作，但一种白噪声不断干扰信息流，破坏信号。IBM希望曼德布洛特能对这个问题提供一个新的视角。
从孩提时代起，曼德布洛特就习惯在视觉层面思考问题，所以他没有使用现成的分析技术，而是本能地从白噪声产生的形状角度来研究它——这是IBM当今著名的数据可视化实践的早期形式。湍流的曲线图很快揭示了一个奇特的特征。无论图表的规模如何，无论它代表的是一天、一小时或一秒的数据，干扰的模式都惊人地相似。有一个更大的结构在起作用：一段时间的无误信号，紧接着就是一段时间的错误信号。曼德布洛特发现了误差爆发和清晰传输空间之间一致的几何关系。传输误差就像时间排列的康托集（Cantor set）。他将这种变化分为两种效应，他称之为“诺亚效应”（Noah Effect）和“约瑟效应”（Joseph Effect）。
康托集
诺亚效应意味着不连续性：当一个数量发生变化时，它几乎可以任意地快速变化。经济学家们传统上认为，价格的变化是平稳的——快速或缓慢，视情况而定。但平稳的意思是，它们在从一个点到另一个点的过程中经过了所有的中间水平。这种运动的概念是从物理学中借来的，就像应用于经济学的许多数学一样。但这是错误的。价格的变化可以是瞬间的跳跃，就像一条消息在电传电报上闪现和一千个股票经纪人可以改变他们的主意一样迅速。曼德布洛特认为，如果假定股票在从60美元跌至10美元过程中的某一时刻必须以50美元的价格出售，那么这条股市策略注定要失败。
约瑟效应意味着持续性。埃及遍地必来七个大丰年，随后又要来七个荒年。当然如果《圣经》用它来隐喻周期性的话是过于简化的。但洪水和干旱确实持续存在。尽管存在潜在的随机性，但一个地方遭受干旱的时间越长，它就越有可能遭受更长时间的干旱。此外，对尼罗河的数学分析表明，这种持久性持续了几个世纪，甚至几十年。诺亚效应和约瑟夫效应推动着不同的方向，但它们加起来就是：自然界的趋势是真实存在的，但它们来的快去的也快。
曼德布洛特后来将注意力转向测量海岸线。英国的海岸有多长？根据曼德布洛特的说法，答案取决于人们使用的尺子。据他说，海岸线无限长。一幅图画在他的脑海中形成，但它是朦胧的。微观世界和宏观世界之间有一种斑图联系。当从上面放大或缩小时，岩石海岸的粗糙程度看起来是一样的。曼德布洛特逐渐认识到，大自然倾向于在不同的测量维度上重复它的模式。
1945年，曼德布洛特的叔叔向他介绍了朱利亚（Julia）1918年的重要论文，认为这是一篇杰作，可以延伸出许多有趣的问题，但曼德布洛特并不喜欢它。事实上，他对他叔叔提出的建议十分抗拒，因为他觉得自己对数学的整个态度与他叔叔的态度是完全不同的。相反，曼德布洛特选择了属于他自己的非常不同的学术路线，然而，这条路线又让他回到了朱利亚的论文。
在加斯顿·朱利亚（Gaston Julia）和皮埃尔·法图（Pierre Fatou）之前的工作基础上，曼德布洛特使用计算机绘制朱利亚集的图像。通过研究这些朱利亚集的拓扑结构、棉花价格的模式、电子传输噪音的频率和河流洪水的重复，曼德布洛特认识到，自然系统中的不规则模式有一种自我相似性。存在一种跨越尺度的对称性——斑图中还有斑图。
曼德布洛特在加斯顿·朱利亚的工作基础上进行研究。朱利亚集分形通常是通过初始化一个复数 z = x + yi 产生的，其中x和y是图像像素坐标，范围约为-2至2。经过无数次的迭代，如果z小于2，我们就说这个像素是在朱利亚集里，并相应地给它上色。对整个像素网格进行这样的计算就可以得到一个分形图像。
曼德布洛特将c的值设置为 x + yi，其中x和y是图像坐标（也用于初始z值）。这就产生了曼德布洛特 *** 。曼德布洛特 *** 可以被认为是所有朱利亚 *** 的映射，因为它在每个位置使用不同的c，就好像在空间中从一个朱利亚 *** 转换到另一个朱利亚 *** 。结果是一个形状笨拙的虫子一样的结构，至少可以说，这是令人困惑的。更重要的是，每一个小版本都比上一个版本包含了更多复杂的细节。这些结构并不完全相同，但总体形状惊人地相似，只是细节不同。事实证明，这些细节的具体程度只受限于计算方程的机器的能力，而类似的形状可以永远持续下去——在无限的尺度上揭示越来越多的细节。这是一个确定的几何形状，它的粗糙度是有规则和参数的，但它是一种先前未被科学界所识别的几何形式。
曼德布洛特 ***
曼德布洛特于1979年提出了曼德布洛特集。1982年，曼德布洛特在《自然界的分形几何》中扩展并更新了他的观点。在这本书中，曼德布洛特强调了自然界中许多分形物体的出现。他举的最基本的例子是一棵树。他指出，从树干到树枝等树的每个部分都非常相似，但也有细微的差异，这为整棵树的内部运作提供了越来越多的细节、复杂性和洞察力。忠实于他的学术根源，曼德布洛特基于这些自然实例提出了健全的数学理论和系统，他新创造的“分形几何”就是基于此。
5.混沌理论举例
分形斑图无处不在：在数学、工业、股票市场、气候科学、星系、树木，甚至在电影和游戏中也有分形的存在。事实上，多分形图案已经在量子领域被发现——在扫描隧道显微镜的原子级分辨率下，材料从金属向绝缘体的突变中，与单电子相关的波呈现了明显的多分形图案。让我们来看看我们在自然界发现的一些最令人惊讶的混沌模式。
5.1 木星上的大红斑
木星的红斑是混沌研究中的一件艺术品。大红斑是木星南半球的一场风暴，它的红色云层以逆时针方向旋转，风速超过地球上的任何风暴。地球上的飓风是由水分凝结成雨时释放的热量驱动的，但红斑并不是。地球上的飓风以气旋方向旋转，在赤道上方逆时针旋转，在赤道下方顺时针旋转，就像所有地球上的风暴一样。相比之下，红斑的旋转是反气旋的。而且最重要的是，飓风在几天内就会消亡。但自1831年9月5日以来，人们一直能观察到大红斑。这个斑点是一个受湍流调节的自组织系统，混沌中稳定的矛盾组合创造了这个强大的风暴，这似乎没有尽头。
木星大红斑
5.2 人体
从主动脉到毛细血管，人体的血管形成了另一种连续体：它们分支，分裂，再分支，直到变得非常狭窄，以至于血细胞被迫单列移动。它们分支的本质是分形的。
肺是自然分形器官的一个极好的例子。一对人类肺的体积只有4-6升，但其表面积却能达到在50-100平方米。肺的表面积与容积比非常高，它对人体非常重要。是肺的分形结构使其具有这样的特征，从气管到分支顶端的肺泡一共有11个分支。分形分支几何提供了一种使非常大的表面积变得非常紧凑的 *** 。在这种情况下，身体里的每个细胞都必须非常靠近血管才能获得氧气和营养（100微米以内）。血管的分形分支系统可以达到直径约为8微米的程度，这也就是毛细血管的宽度。人体的血管长度可达15万公里左右，因为人体组织每毫米约有250个毛细血管，而毛细血管的平均长度约为600微米。
同样地，大脑的神经元也拥有分形模式。人脑由大约1000亿个神经元组成，这些神经元之间有大约100万亿个突触或连接，平均每个神经元可能要在同一时间与大约1000个细胞沟通。轴突伸出来与其他神经元的树突进行突触连接。正是神经元的轴突和树突的分形分支模式使它们能够与如此多的其他细胞交流。
事实上，癌症物质的分形维度要高于健康细胞的分形维度。乔治·华盛顿大学数学和工程系 *** 教授艾伦·彭（Alan Penn）描述了他在这一领域的工作：核磁共振乳腺成像可能改善对400万名 *** X光检查无效的高危妇女的诊断。核磁共振成像的临床应用的困境是难以诊断哪些肿块是良性的，哪些是恶性的。研究的重点是开发强大的分形维度估计，这将改善良性和恶性 *** 肿块之间的区分。
自然界中所有动物的身体结构都是分形的，它们的行为甚至时间也是分形的。我们的心跳看起来规律而有节奏，但当仔细观察计时结构时，就会发现它有非常轻微的分形。这非常重要：我们的心跳并不是规律的，而是有重要的微小变化。这种细微的变化大大减少了心脏的磨损。就像自相似树的树枝一样，健康人的心跳在统计上也是自相似的。此外，心脏病可以通过极端和无节奏的分形行为来检测。
5.3 自然界中的分形
分形图案在大自然中随处可见。树木是天然的分形斑图，这些斑图重复着越来越小的“复制品”，创造了森林的生物多样性。每根树枝，从树干到树梢，都是之前那根树枝的副本。这是一个基本原则，我们在自然界整个自然系统的有机生命形式的分形结构中会反复看到。
花朵、蕨类植物、树叶、河道、闪电、雪花是自然界分形的一些例子。Romanesco Broccoli 是花椰菜的变种，是一种极具分形的蔬菜。它的斑图是斐波那契数列或黄金螺旋的自然表示，这是一种对数螺旋，每四分之一转距离原点的距离都是黄金比例的一个因数。
斐波那契数列是自然界中常见而美丽的数字模式，它创造了黄金比例。蕨类植物是自相似 *** 的一个常见例子，这意味着它们的模式可以在任何放大或缩小的情况下用数学 *** 生成和复制。描述蕨类植物的数学公式以迈克尔·巴恩斯利（Michael Barnsley）的名字命名，是之一个表明混沌本质上不可预测、但通常遵循基于非线性迭代方程的确定性规则的数学公式之一。换句话说，使用Barnsley的蕨类公式反复生成的随机数最终产生了一个独特的蕨类形状的物体。许多植物在生成分枝形状和叶型时遵循简单的递归公式。
各种分形的例子
河流三角洲在本质上也趋向于分形；即使在天空中，基于卫星图片的分析也表明，从数百英里外观测到的云具有不变的分形维数；闪电不是直线传播的，而是遵循混沌的行为。闪电可以非常大，跨越数英里，但它在微秒内就可以形成；雷声是分形的声音，是由空气过热引起的。因为闪电的路径在3D空间中是一个锯齿形的分形，它到达我们耳朵所需的时间是不同的，因此我们听到的声音是一个分形模式。
星系是已知的更大的螺旋分形中例子。一个螺旋星系可能包含一万亿颗恒星。旋臂并不包含更多的恒星，但是，旋臂仍然更亮，因为它们包含许多由恒星形成的旋转螺旋波形成的生命短暂的极亮恒星。恒星形成的波之所以可见，是因为它们包含许多年轻的、非常明亮的恒星，它们的寿命很短，可能只有1000万年，而相比之下，更常见的恒星，如我们的太阳，寿命可达数十亿年。
6.量子混沌
量子混沌描述并试图理解原子和分子中电子的波状运动的本质（量子力学），以及电磁波和声学等。在一定程度上，这些波就像经典力学中粒子的混沌轨迹，包括光学仪器中的光线和复杂容器中的声波。量子混沌的研究包括动力学系统理论在量子体系中的应用。
“我们在日常生活中所经历的宏观世界是如何从肉眼看不见的微观世界中显现出来的？”这个问题，和科学本身一样古老。在过去的100年里，理解支配“宏观世界的经典力学是如何从支配微观世界的量子力学中衍生出来的”这一命题变得越来越重要。虽然科学界已经取得了巨大的进步，但仍然存在许多令人困惑的问题。混沌的出现很可能是量子世界和现实世界之间的共同连接。
量子混沌研究的核心目标是描述量子系统的普遍特性，这些特性反映了基础经典动力学的规则或混沌特征。研究人员已经观察到，经典混沌的后一种普遍属性与量子混沌的普遍光谱波动特征密切相关。
量子混沌最初是试图在量子力学系统中找到混沌，即对初始条件变化的极端敏感性。这一尝试失败了，因为人们最终意识到，这种敏感性并不存在。然而，在此过程中，人们发现混沌（或缺乏混沌）以其他方式反映在量子系统中。
量子混沌的一个迷人特征是，它揭示了非常不同的物理系统在行为上的大量普遍性。例如，在强多重散射问题中发现的声波强度、被称为瑞利分布（Rayleigh）的概率密度、中子从中重核散射的截面中的埃里克森波动、以及在混沌或无序的量子点中发现的电导率波动，都可以被视为拥有一个共同的基本统计结构。因此，人们能够看到系统之间的基本相似之处，否则这些往往会被忽略。普遍性意味着对一个系统的统计特性的许多方面缺乏敏感性，即缺乏某些种类的信息。此外，量子混沌把许多不相干的、看似不相干的概念，即经典混沌、半经典物理学和渐进 *** 、随机矩阵组合、路径积分、量子场论、安德森局域性，以意想不到的方式联系起来。
因此，看到量子混沌在许多领域的应用就不足为奇了。这些领域包括：（1）中核和重核中的低能质子和中子共振；（2）弹道量子点；（3）介观无序电子导体；（4）非阿贝尔规范场背景下的Dirac谱；（5）原子和分子光谱；（6）里德堡原子与分子；（7）微波驱动原子；（8）超冷原子和光学晶格；（9）光学谐振器；（10）晶体中的声学和在海洋中远距离传播的声学；（11）黎曼ζ函数和广义L-函数；（12）退相干性和保真度研究。还有很多其他的例子。
受击陀螺系统中的量子混沌
7.混沌理论与意识
意识是一种涌现属性。正如神经科学家 David Eagleman 在他的书《大脑：你的故事》中解释的那样，观察意识最合适的方式不是关注各个部分，而是关注各个部分之间的相互作用。人类大脑中数百万个神经元中的一个神经元本身就足够简单。它以一种完美的、可预测的方式执行其功能，即神经递质通过突触发送信号。通过观察单个神经元来理解作为一个系统的意识是不可能的。重要的是神经元之间复杂的相互作用。每个神经元执行自己的简单功能；但是，在数百万个神经元之间的这种大规模的相互作用，产生了单个神经元无法解释的东西：意识。
我们可以说，意识与人类大脑中分布式互动的复杂性有关。人脑的功能结构本身就是一个分形反馈循环：分形大脑产生分形意识。人类的意识与中枢神经系统的电信号密切相关。如果大脑中没有电活动，你就会失去意识，甚至死亡。当意识出现时，大脑活动的熵会增加，而分形是高熵的，这也是一些研究人员认为我们的意识是分形的原因之一。其次，我们的中枢神经系统控制着我们身体和精神的大部分功能，它与分形有很多联系：之一，中枢神经系统的结构是分形的；第二，中枢神经系统的信号也是分形的。
哲学家 Kerri Welch 通过时间和记忆的镜头，以更全面的方式看待意识。“我认为意识是一个时间上的分形。我们每时每刻都在接收无限多的数据，每次我们压缩处理这些数据的过程都是一次尺度上的飞跃。”Welch认为，感知时间不是一个线性的过程，而是一个“分层”过程，也就是一个分形。她认为这种“分形”会随着我们的变化而变化：例如，婴儿只生活在当下，不分割时间，肯定不会像成年人这般体验时间。这就是为什么对婴儿来说，大脑的δ波状态——类似于成年人在深度睡眠中看到的——占主导地位。随后，当我们成长到童年时期，我们开始看到更快的脑电波，θ脑电波……然后是α脑电波，最后是进入青春期后的β脑电波。这种对时间的分层理解与我们如何越来越多地将时间分割成越来越小的部分相对应。与此同时，“我们内部的密度也在增加。随着年龄的增长，我们会发生转变，接受周围的复杂性，并在内心重新创造它。我们内部的分形维数——即内部密度——正在增加。”
哈佛大学医学院的心脏病专家 Ary Goldberger 说得好：“我们本质上是分形的，这可能会导致你认为是我们将分形投射到世界上的，然后又看到它，并发现它很熟悉。”所以，当我们观察和创造艺术，当我们决定什么是高级艺术时，我们实际上只是在回看我们自己吗？创造在某种程度上是再创造吗？”
本文翻译自 projectnile.in.
文章题目：
The Mathematical Beauty of Patterns in Chaos Theory
文章链接：
https://projectnile.in/2021/06/06/quantifying-the-patterns-of-chaos/
参考文献
1. https://www.popsci.com/story/science/predicting-weather-is-hard/
2. https://www.technologyreview.com/2011/02/22/196987/when-the-butterfly-effect-took-flight/
3. https://eapsweb.mit.edu/research/Lorenz/Deterministic_63.pdf
4. https://indianapublicmedia.org/amomentofscience/coffee-cup-convection.php
5. https://fs.blog/2017/08/the-butterfly-effect/
6. http://www2.me.rochester.edu/courses/ME406/webexamp5/loreq.pdf
7. http://links.uwaterloo.ca/pmath370w14/PMATH370/lorenz%20Latex.pdf
8. https://www.geeksforgeeks.org/creative-programming-processing-set-2-lorenz-attractor/
9. https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3202497/
10. https://fractalfoundation.org/resources/what-are-fractals/
11. https://www.nature.com/articles/s42003-019-0715-9
12. https://iternal.us/what-is-a-fractal/
13. https://www.britannic *** /science/fractal
14. https://www.britannic *** /biography/Gaston-Maurice-Julia
15. https://www.api.simply.science/index.php/fractals-in-nature/10479-fractals-in-human-body
16. https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5218578/
17. http://www.fractal.org/Life-Science-Technology/Publications/Fractals-and-Human-Biology.pdf
18. https://www.diygenius.com/fractals-in-nature/
19. https://co *** o *** agazine.com/mathematics/fractals-in-nature/
20. https://www.ibm.com/ibm/history/ibm100/us/en/icons/fractal/
21. https://en. *** .org/wiki/Benoit_Mandelbrot
22. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Mandelbrot/
23. https://www.treehugger.com/amazing-fractals-found-in-nature-4868776
24. https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4005797/
25. https://nautil.us/issue/47/consciousness/is-consciousness-fractal
26. https://fractal.institute/encyclopedia/humanity/psychology/consciousness/
27. https://digitalcommons.ciis.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1043&context=cejournal
28. https://fractalenlightenment.com/18838/fractals/understanding-the-fractal-mind-and-fractal-consciousness
29. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0169260718314263
30. https://ysjournal.com/chaos-theory-and-consciousness/
31. https://www.nasa.gov/image-feature/jpl/jupiter-s-great-red-spot-a-rose-by-any-other-name
32. https://www.amazon.in/Brain-David-Eagleman/dp/1782116613
33. https://www.amazon.in/Chaos-James-Gleick/dp/0749386061
34. https://fractalenlightenment.com/18838/fractals/understanding-the-fractal-mind-and-fractal-consciousness
35. https://fractal.institute/encyclopedia/humanity/psychology/consciousness/
36. https://nautil.us/issue/47/consciousness/is-consciousness-fractal
转载内容仅代表作者观点
不代表中科院物理所立场
如需转载请联系原公众号
来源：集智俱乐部
编辑：圆周π ***
我们在看玄幻类的电视剧或者网文时，经常会出现“混沌”二字 ，你知道这两个字到底是什么意思吗？ 今天我们就来讲一讲混沌的故事。
混沌，在现代汉语词典中的释义有两个：1.我国传说中指宇宙形成以前模糊一团的景象。2.糊里糊涂，无知无识的样子。这两个释义正好对应着关于混沌的两个神话传说。
说混沌的之前，我们先来介绍一个人，帝江。
帝江
《山海经，西次三经》中说，西方的天山上有一只神鸟，形状像个黄布口袋，红得像一团火，有六只脚和四只翅膀，没有耳朵眼睛嘴巴鼻子，但是却能歌善舞，名字叫帝江，帝江也叫帝鸿，是中央的天帝。
帝江
在古书《庄子》里，有这样一个神话故事。故事中，南海的天地叫倏，北海的天地叫忽，中央的天地叫混沌（也有的说是帝江）。三个人是一起玩耍的好朋友，有一天，倏和忽觉得混沌的样子太丑了，黑乎乎圆坨坨的一大片，于是便要给混沌凿出几个洞洞来，混沌也欣然同意了，于是倏和忽叮哩哐啷一顿造，一天给混沌凿一窍，凿到第七天，开了七窍的时候，混沌终于忍受不住，死了。
宇宙形成以前模糊一团的景象
不知道大家发现没有，南海天地和北海天帝的名字，倏、忽，正是代表了时间，我们现在依然用这两个字来表示时间（倏忽，表示时间很快，忽然之间的意思）。这就有点哲学意味在里面了，天地玄黄，宇宙洪荒，宇表示空间（上下四方，所有的空间），宙表示古往今来的时间，这个神话故事中，倏忽表示时间，混沌表示空间，时间和空间，组成了我们生活的这个世界。
这便是混沌的之一个意思，指宇宙形成以前模糊一团的景象。
混沌的第二个释义，说的是山海经中的神兽混沌。
混沌
《神异经，西荒经》中说，昆仑山的西边有一只野兽，形状像一条狗，有长长的毛发和四只脚，像熊一样但是没有爪子。有眼睛但是看不见，走路的时候都不睁开；有两只耳朵但是听不见，别人到哪里去它却知道；有肚子但是没有五脏六腑，有肠子是直的没有弯曲旋转，食物直接就从肠子里过去了。遇见有德行的人，它就一股蛮劲的抵触人家；遇见横行霸道的恶人，它反而服服帖帖、摇头摆尾的跟随着人家。这种贱嗖嗖的脾气，在它身上简直是浑然天成，天性使然，它的名字就叫做混沌。平时没事的时候，混沌总爱追着自己的尾巴咬着玩，来回转圈，自顾自的仰面朝天哈哈大笑。
混沌
在这个传说中，混沌就是一个天神的名字了。有的说混沌就是天帝，也有的说混沌是天帝的儿子（帝鸿氏有不才子，天下谓之混沌），总之在这个神话故事中，混沌是个追求自然、糊里糊涂、无知无识的天神。
不知道大家注意到没有，混沌喜欢追随横行霸道的恶人，没事的时候总是喜欢哈哈大笑，糊里糊涂，天真自然。这些特性跟风靡全球的电影人物小黄人如出一辙。
小黄人
很多人感叹外国编剧创意独特，将呆萌可爱和追随坏蛋这两个截然不同的特性，毫无违和感的赋予在小黄人身上。但其实在我国几千年前的神话传说中，就已经塑造了这样一个神兽了，只是我们不知道而已，因此，也希望我们国家的电影工作者们，能多从上古神话中挖掘一些素材，弘扬我们自己的灿烂文化。
《混沌》：你了解混沌理论吗？我们面临着一个无法预测的世界19世纪的最后一天，欧洲著名的科学家欢聚一堂。会上，英国著名物理学家W．汤姆生（即开尔文男爵）发表了新年祝词。他在回顾物理学所取得的伟大成就时说，物理大厦已经落成，所剩只是一些修饰工作。他也许没有意识到，他这几句话还未说完，真正颠覆经典物理学界的时代已经降临。
曾经的经典物理学一直都在追求世界的确定性、可测量性，也就是在物理学界一定要有一个确定的答案。而牛顿的开创性研究，也让物理学前景一片开朗，当科学家们根据由牛顿的理论大厦所建设起来的物理学原理，可以计算出遥远天体的运行规律都时候，当时的普遍认知是认为，这个世界将不会再有任何秘密，有的仅仅是运算能力的不足。
但20世纪的三大革命，把经典物理学大厦的是所有基石都砍断了，经典物理学成了空中楼阁，成了仅仅存在于宏观世界的理论。而物理学界的三大革命是什么呢？相对论破除了对于绝对时空的牛顿式幻觉；量子理论破除了对于可控测量过程的牛顿式幻想；而混沌理论破除了对于决定论式的可预测性的拉普拉斯式幻想。好吧，我们的世界就成了相对的、测不准的、不确定的世界，这就是我们所面对的现实状况，这就是物理学的现状。
现代物理学的三大理论都是超出很多人认知的，都是很难理解的。但难以理解也需要我们可以尽量的去了解，去认识，这毕竟是我们最新科学的研究阵地，是我们现代好多发现的基础。而我们个人认识这些最新理论，也许还可以对于我们的人生有所启发呢。美国科普作家詹姆斯·格雷克的著作《混沌》就是把现代物理学界最后出现的混沌理论介绍给了我们，让我们对于这一理论有着更深入的理解。
混沌理论中最重要的、也最常被我们听到的就是“蝴蝶效应”，用他的创始人洛伦茨的原话就是：“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。”当然，这个效应没有人证实过，也没能真正的去验证，这只是一个形象的比喻。在一个复杂系统中一个微小的差异，在不断更迭放大之后就会形成巨大的差异。而这个发现就来自洛伦茨的实验验证，在他做气候模拟实验时，因为整个模拟系统是固定的，输入一个特定的值总会得出确定的答案。但在一次实验室，也许是疏忽，本来应该精确到小数点六位的数字，仅仅输入了三位，这也就造成千分之一的误差。但随着时间的推移，这千分之一的误差不断放大，最后整个系统的结果和之前预想值之间出现了极大的差异。而这种差异在各种复杂系统中是一直存在的，这也就是说，所有复杂系统都成为一个混沌系统，都会面临极为无法预测的囧境。
那我们都会面临那些混沌系统呢？天气变化一定是的，生物的迁徙、社会的演变甚至于人体自身都是混沌系统，都有着极其复杂的因素，就会面临无法预测的困境。想要更全面的理解混沌吗？这本《混沌》一定是更佳的选择，虽然这本书也非常难以理解，但至少是以我们能够理解的方式来讲述着混沌，来带给我们一些新知。#阅读的温度##全民荐书人##混沌#
了解混沌，换个角度看世界——读《混沌——开创一门新科学》据诺贝尔奖官网消息，2021年诺贝尔物理学奖将一半颁给了真锅淑郎克劳斯·哈塞尔曼表彰他们“地球气候的物理建模，量化可变性并可靠地预测全球变暖”。另一半颁给了乔治·帕里西 表彰他“发现了从原子到行星尺度的物理系统中无序和波动的相互作用”。
打开百度APP看高清图片
他们发现了气象以及其他复杂系统中隐藏的奥秘，三位获奖者因对复杂系统的研究而分享了今年的诺贝尔物理学奖。
真锅淑郎和克劳斯·哈塞尔曼为我们了解地球气候以及人类如何影响地球气候奠定了基础。乔治·帕里西 因其对无序和随机现象理论的革命性贡献而获奖。
所有复杂系统都由许多不同的相互作用部分组成。几个世纪以来，物理学家一直在研究它们，这些很难用数学 *** 来描述——它们可能被大量的因素影响或者受随机因素的支配。
这些复杂系统是混沌的，比如天气，初始值得微小偏差将会导致随后的巨大差异。今年的获奖者为我们研究这类系统以及它们的长远应用发展做出了贡献。
地球的气候是众多混沌系统之一。真锅淑郎和哈塞尔曼因其在开发气候模型方面的开创性工作而获得诺贝尔奖。帕里西则是因其对复杂系统理论中大量问题提出了理论解决方案而获奖。
所以说他们是因为研究混沌系统作出了突出贡献，从而获得了诺贝尔奖。
混沌理论与相对论和量子理论被并称为“二十世纪三大革命科学”，由美国詹姆斯·格雷克著，楼伟珊翻译的这本《混沌——开创一门新科学》从混沌现象的发现，到理论的发展历程都做了一个完整的阐述。
作者詹姆斯·格雷克，1954年生于纽约，是美国的科普畅销书作家，已出版数部十分畅销科普著作，其中《混沌》，《费曼传》、《牛顿传》以及《信息简史》等书多次获得美国国家非文学类图书奖提名。
整本书通读下来，介绍了各个学科的科学家们对混沌现象及混沌理论的记录和研究，活生生的展现在读者面前，书中大量引用了科学家的研究案例及 *** ，涉及到的物理，数学等知识比较多，所以对阅读者的科学素养要求比较高。感兴趣想挑战自己的可以先了解下文，帮助你更好地理解这本书：
一.什么是混沌
混沌是一种现象和状态，混沌具有非线性、类随机、无规律、模糊关系、对初值极其敏感等特性，混沌系统是一个与确定性系统有着显著区别的混沌系统，具有对初值极其敏感特性，即系统的初始值发生细微的变化，其输出结果会产生巨大的差异。因此混沌系统的混沌行为看似无规律却又有规律，因为它的运动状态在任何一个时刻都是可以确定，因此可以说研究混沌学就是研究混沌中蕴含的“看似无规律却是有规律”的混沌行为。
1.混沌系统中的“蝴蝶效应”。大多数人其实都听过或接触了混沌系统，其中最著名的就是20世纪60年代，美国著名气象专家Lorenz 发表的《确定性非周期流》论文中首次提出的“蝴蝶效应”。
“蝴蝶效应”被广泛传播解释为森林里的某一个角落里有一只蝴蝶煽动翅膀，会引起太平洋的海啸。
书中对洛伦兹的研究进行了详尽的叙述，向读者解释了“蝴蝶效应”并不是真的说一只蝴蝶煽动翅膀就会引起一场海啸，这只是一种形象的比喻，用来说明预测结果对初始条件微小误差的敏感性。
1961年，气象学家洛伦兹建立了一个简化的气象模型，这个模型一共用了12个参数，用来表征基本的气象特征，诸如气压、温度等等。
他在计算机上运行这个模型时，从运行中段的某一时刻作为初始点来运行。按道理程序不变，初始点是来自上一次运行结果，那么再运行多少次，最终得到的结果都是一样的。但是这一次不同，洛伦兹发现，这次的运行结果和上次大相径庭，仅仅在一开始的很短时间内重复了上一次的结果，但是很快就偏离了，并且偏离得毫无规律，就好像这个结果是来自一个完全不同的程序。
洛伦兹决定好好看看哪里出问题了。他很快发现了问题所在：当他从中段重新运行这段程序的时候，他并没有直接取用存储在电脑里的中间数据作为初始点，而是从打印出来的数据上手抄进电脑。当时的电脑精度并不太高，但是中间数据也有很多位（0.506127），但是他抄写的却只有0.506三位数，这样就有了0.025%的偏差。就是这么一丢丢偏差，导致了运行结果的截然不同。于是他发现，这段程序有一个特点，就是对初始条件的极端敏感 。
我们说极端敏感，到底有多敏感呢？答案是， 非常 。洛伦兹很快把这次结果发表了一篇论文 。在论文中他这样说：
“一个气象学家这么评价：如果这个理论是正确的，那么，一只海鸥忽闪一下翅膀，就足以永久地改变天气走向。”
这个比喻很形象地描述了预测结果对初始条件微小误差的敏感性。后来，在1973年，在第139届美国高等科学学会（American Association for the Advanced Science）会议上，他做了一个报告。会议的主持人给了这个报告一个很有诗意的名字，叫做“ 巴西某个蝴蝶闪动一下翅膀会引发德克萨斯的一场飓风吗？ ”。至此，人们所熟知的“蝴蝶效应”就正式登入了科学史册并被人们熟知。
所以我们知道了所谓“蝴蝶效益”，并不是说蝴蝶煽动翅膀就真的会引起一场海啸。而是引起海啸的因素太多了，即使细微的因素变化也还会导致一场海啸的发生。
2.混沌系统的奇怪吸引子
奇怪吸引子，由法国物理学家D.吕埃尔和F.泰肯在1970年左右引入。所有的运动系统，不管是混沌的还是非混沌的，都以吸引子为基础，它因具有倾向于把一个系统或一个方程吸引到某一个终态或终态的某种模式而得名。
从整体上讲系统是稳定的即吸引子外的一切运动最后都要收敛到吸引子上.但就局部来说吸引子内的运动又是不稳定的即相邻运动轨道要相互排斥而按指数型分离.
奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性有着密切关系。它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。
奇异吸引子的一个著名例子是洛伦茨吸引子，它是在研究天气预报中大气对流问题的洛伦茨模型中得到的。洛伦茨吸引子由“浑然一体”的左右两簇构成，各自围绕一个不动点。当运动轨道在一个簇中由外向内绕到中心附近后，就随机地跳到另一个簇的外缘继续向内绕，然后在达到中心附近后再突然跳回到原来的那一个簇的外缘，如此构成随机性的来回盘旋。
一个像洛伦兹吸引子这样的吸引子揭示了一个原本看上去行为杂乱无章的系统的稳定性和隐藏结构。
二.混沌研究的意义
混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的，万事万物，莫不混沌。混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相依靠，由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。
混沌学不仅极具研究价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富。理论上研究混沌的目的是多方面的：揭示混沌的本质（内在随机性）、刻画它的基本特征、了解它的动力性态，并力求对它加以控制，使之为人类所用。
近年来的大量研究工作表明，混沌与工程技术联系愈来愈密切，它在生物医药工程、动力学工程、化学反应工程、电子信息工程、计算机工程、应用数学和实验物理等领域中都有着广泛的应用前景。在应用方面，主要包括混沌信号同步化和保密通信，混沌预测，混沌神经 *** 的信息处理、混沌与分形图像处理，基于混沌的优化 *** 、混沌生物工程、天气系统、生态系统、混沌经济等。此外，控制混沌的技术还被应用到神经 *** 、激光、化学反应过程、流体力学、非线性机械故障诊断系统、非线性电路、天体力学、医疗以及分布参数的物理系统的研究工作中去。当前，在一些混沌显得非常重要而且有用的领域，有目的地产生或强化混沌现象已经成为一个关键性的研究课题。
混沌理论在教育行政、课程与教学、教育研究、教育测验等方面已经有些许应用的例子。由于教育的对象是人，人是随时变动起伏的个体，而教育的过程基本上依循一定的准则，并历经长期的互动，因此，相当符合混沌理论的架构。也因此，依据混沌理论，教育系统容易产生无法预期的结果。此一结果可能是正面的，也有可能是负面的。不论是正面或是负面的，重要的是，教育的成效或教育的研究除了短期的观察之外，更应该累积长期数据，从中分析出可能的脉络出来，以增加教育效果的可预测性，并运用其扩大教育效果。
混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。
三.混沌带来的启示
1.让我们看清这个世界。我们从小就被教授那些有解析解的系统，当面对一个非线性系统时，不得不用线性替代它，或者找到其他某种未知可否的 *** 。教科书向学生介绍的也只是一些罕见的可用这样一些技巧解决的非线性系统。会实际生产混沌的非线性系统极少被教授，也极少被学习。当人们偶然遇到这样一些东西时，他们接受的所有训练告诉他们，这些不过是非典型行为，可以不加理会。只有少数人能够记起，有解的有序的线性系统才是非典型的。也就是说，只有少数人理解大自然的本质是非线性的。
线性回归图形
2.改变我们的行为方式。
我们已经知道了我们的生活中充满了混沌，从湍流到天气，从野生动物种群数量的涨落到心脏和脑中的震荡，从证券市场的起伏到经济周期的运行。混沌和我们的学习，生产，科研都息息相关。
混沌系统向我们揭示了我们对因果关系的一个基本的错误认识。我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意味着复杂的结果必然有复杂的原因)，但我们知道了，简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。
当我们了解了混沌就能分辨出哪些是混沌现象，从而改变我们以往错误无效的决策和行为方式。
对制度制定者来说，它能警示我们，一个微小的机制，如果不加以及时地引导、调节，可能会给社会带来非常大的危害，戏称为“龙卷风”或“风暴”；一个微小的机制，只要正确指引，经过一段时间的努力，将有可能会产生轰动效应，或称为“革命”。
对企业管理者来说，企业是复杂的“开放”系统，既影响着其所处的环境，又在很大程度上受环境的影响。这意味着，企业的行动可能无法达到它所预期的结果。
环境是瞬息万变的（不断创造着机会和威胁）。高层管理者不能指望制定出在付诸实施时仍完全有效的详尽战略。
作为传统决策理论基础的简单线性因果关系模型已经失灵。因此，各种事件的后果是无法预料的。
对投资者来说，混沌的自相似性特征也能在证券市场得到应用。周K线图看上去与日K线图、小时K线图、5分钟K线图的形状十分相似，这就是证券市场价格的分形特征，我们可以应用5分钟K线图或者小时K线图来推断日K线图或周K线图的形状，为投资决策服务。
科学的就在于教会人们认识世界，改造世界。而对科学的不断探索，更是一种难能可贵的追求真理的勇气与精神。混沌理论带给我们看待世界的一个崭新的视角，正如本书的题目所言，经过众多科学家的探索与求真，开创了一门新的科学。
混沌介绍（3）----混沌运动的属性混沌的特点，一般指混沌的内涵。混沌运动的属性，更多指的是混沌的的外延，即混沌系统随时间和空间的演化规律。混沌运动具有明显的 “对初始条件的敏感依赖性、内随机性、非周期性、遍历性、奇怪吸引子、自组织、对称破缺、有限性、普适性、统计性”的十大属性。
1、对初始条件的敏感依赖性
系统的初始条件，指系统最初所在的时间或空间或时空的条件，所以初始条件不完全等于只对时间的开始条件。系统的初始条件，又称系统对初值的依赖性。系统对初值的依赖性存在三种情况:
（1﹚、有的系统存在“遗忘”初值的机制，系统的长期行为不依赖于初值。如，具有渐近稳定吸引子的系统﹔
（2﹚、系统运动的轨迹对初值具有依赖性，但不敏感。如，保守系统等能面上的运动轨迹﹔
（3﹚、系统运动的轨迹敏感地依赖于初始条件。如，混沌运动。
为了直观地理解“敏感地依赖于初始条件”的意义，我们考虑一个中学时学过的迭代运算
Xn＋1﹦4Xn（1－Xn）
＝4 Xn －Xn2
对于初值X0 ，考虑三个相差甚远的初始值X0 ＝0.1， X0 ＝0.100000001， X0 ＝0.1000000001进行迭代，迭代运算不多时，相差不大，但随着迭代次数的不断增加，相差越来越大。当迭代次数达到52次以后，计算出三个初始值的结果分别为0.6349559274，0.0663422515，0.3731772366。可见，原三个相差不到千万分之一的具有微小差异的相邻初始值，经过52次迭代以后，三者之间差异巨大。这就是说，系统中两个具有微小差异的相邻初始状态的两点，其运动轨迹将随指数函数增大。这种混沌运动系统所具有的属性称为对初始条件的敏感依赖性。这是混沌运动系统最本质的特性，也是蝴蝶效应产生的根本原因，也有人称蝴蝶效应就是对初始条件的敏感依赖性。
现实世界的单摆，并不是中学物理课本上的周期运动，而是一个受周期力驱动的阻力摆运动，它的运动方程是
(d^2 Q)/(dx^2 ) + r dQ/dt + g·sin?〖θ 〗＝ A·cos?ωt
其中，θ是摆的偏转角，r为阻尼常数，g是重力加速度，A是振幅，ω固频率，A·cos?ωt是周期驱动外力矩。
由于g·sin?〖θ 〗的存在，上式为非线性运动方程。由于A·cos?θ的存在，摆的运动就是确定系统的内随机现象（即混沌现象﹚。我们发现，当幅值A一旦超过某个阀值时，摆的运动就由周期性变为一种似乎很混乱的非周期性，特别是当θ＝π时，整个摆的运动存在着对对初始条件的敏感依赖性。
彩票之所以具有蝴蝶效应，也正因为彩球在摇奖机中的运动受到存在微小差异的初始条件的影响，敏感地依赖于初始条件的结果（详见第四章﹚。
2、内在随机性
现代科学意义上的混沌,按西方一位科学家通俗地説，就是“简单方程的随机现象”。简单方程，指確定系统，就是说这个确定系统往往要受到控制参数μ的调节，呈现出随机性，只是这种随机性属于内在随机性。从前面的分折也可看出，彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=μCn（1-Cn），当μ∞＜μ≤4 时, C不再是一个确定的变量而仿佛是随机出现的变量。彩票的非线性运动不仅存在有序的无穷嵌套的自组织结构，同时具有内在自发产生的随机现象，这种随机现象不是外来的、与外界噪声无关的、短期可预测而长期不可预测的内禀随机性，这种内禀随机性与外随机性（即受到外来影响、与外界噪声有关的、存在大数现象的数据随机性）是完全不同的， 所以又称为内在随机性或称内随机性或伪随机性。内在随机性和一般所说的随机性（外随机性）在预测中应注意以下差异：
内随机 外随机
产生于確定性系统 产生于随机条件、随机参数和随机作用的动态系统 非大数现象与多体效应 大数现象或多体效应
系统内部自发产生 系统因外部作用被动产生
长期不可预测、短期可预测 长期可预测、短期不可预测
事件前后相互关联 事件前后不关联
有长期记忆功能 没有长期记忆功能
变化有很强的趋势性 变化没有趋势性
属有偏的随机游动 属无偏的随机游动
具遍历性和有限性 无遍历性和有限性
属有偏的概率现象 属无偏的概率现象
对称破缺 对称性
…
因此，彩票的预测应摆脱古今中外、长期以来把彩票误导为外随机和“小概率”现象、而习惯用大量的随机理论、概率论、波动理论和外随机数理统计，寻求彩票这个非外随机的内随机规律。由于内随机毕竟是伪随机，往往涌现一些本属内随机的貌似外随机现象，模模糊糊，是也非是，…白白浪费了不少时间、
3、非周期性
非周期性在日常生活中处处可见。如前面所说的中学物理的单摆，实际际上是非线性、非周期的。但是中学物理之所以把单摆视为简谐振动，具有线性、周期性。其振动周期T为
T＝2π√(L/g)
是因为在两个假设条件下（假设摆球直径远远小于摆长L，把摆球视为一个抽象的、理想的质点﹔假设单摆的视角φ非常微小，如φ＜50 ﹚，把单摆运动设定在一个特殊的极端情况下进行研究的。但是现实世界的摆球无论如何也不可能是无穷小的质点。所以单摆运动正如前面分析的，是非常复杂的、是非线性的、非周期的混沌运动。因此，科学家们常把混沌称为“不规则行为的规律性”、“伪装成随机的规律性”、…。这些都说明，混沌具有两面性: 一是有规律的、有周期的、线性的一面，同时又具有无规律的、非周期的、非线性的一面，而且内在的随机性自发产生于有规律的（如周期、倍周期、准周期﹚确定系统之中。
就混沌吸引子而言，不是周期轨迹，也不是多个周期轨道的叠加（准周期轨道﹚，而是不能分解为周期轨道之和的分形点集。所谓分形（详见第三章﹚就是不规则的、破碎的、杂乱无章的。所以作为分形点集，整体是稳定的，作为分形各点的局部又是不稳是的，这种既稳定又不稳定的混沌吸引子自然表现出非周期性，所以非周期性是混沌运动的一个重要属性。彩票运动的非周期性，受到控制参数μ的调节。（详见第四章﹚
4、遍历性
遍历性，指在有限时间内系统混沌的轨道经过混沌區內每一个状态点，在有限時间内混沌轨线的多种形式会全部涌现出來。刘秉华、彭建华教授说，当考慮李雅普诺夫（Lyapunor exponet）指数λ不仅与参数μ有关，而且与初值x0 有关時，李雅普诺夫指数λ为
※λ﹦lim┬n∞?〖1/n〗 ∑_(ⅰ﹦0)^(n－1)?ln?〖∣F'∣〗 xⅰ
〖﹦lim┬(n→：∞)〗?〖1/n〗 （ln?μ?〖∣1－2X0∣＋ln?μ∣1－2Xⅰ∣＋…＋ln?〖μ（∣1－2Xn－1∣）〗 〗
（注：式中的X相当于彩票中的C）
根据上述公式, 他们说：“如果迭代次数n太少, 式中的取极限得不到满足, 迭代不可能遍历整个吸引子” ，“也就不可能反映系统运动的真实特点”。“为了反映李雅普诺夫指数λ的整体（全局）性，n必须足够大, 通常n等于40～50即可得到满意的結果。”《注43》就是说，彩票运动所遍历的一切可能的运动形态，迭代次数是有限的，这与外随机数理统计的次数越多，精确度越高是完全不同的。
为此, 在进行数理统计時, 应充分运用彩票的遍历性，有目的地进行不同期数的统计。一般而言， 要了解偏态, 红、篮球的统计期数分别为7、13期；要了解一切可能的运动形态, 要充分应用彩票混沌的遍历性, 把统计期数落实在50～70期；要掌握彩球运动的整体规律, 统计期数为250～350期；要掌握单个彩球的运动規律, 统计期数至少要大于600期（注：这里说的期数指中奖期＿迭代次数, 而非开奖期）
5、奇怪吸引子
之一节已介绍了，奇怪吸引子这个概念是1964年法国数学家伊依提出来的。奇怪吸引子又叫混沌吸引子，指在混沌运动中，所有轨道的 *** ，或者更确切地说，指相空间中无穷多个点的 *** 。这个抽象的数学概念是为了从整体上把握和研究混沌系统的属性，研究了混沌吸引子的性质（如，对初始条件的敏感依赖性、稳定性、非周期性、自组织性和低分数维…﹚，就反映出了混沌运动的特点。所以奇怪吸引子既是研究混沌运动的重要工具或特征量，又是所有混沌运动的一种特定属性。
在奇怪吸引中，最典型的有洛侖兹吸引子、伊依吸引子、洛斯勒吸引子、达芬吸引子等。如， 洛侖兹吸引子
x ?＝-ax +бy
y ?＝-xz + rx - y
z ?＝xy –bz
伊依吸引子
Xn+1＝1+bY－aXn2
Yn+1＝Xn
洛斯勒吸引子
x ?＝－（y + Z﹚
y ?＝x + ay
z ?＝b + Z（x－c﹚
达芬吸引子
(x ) ?+ ?(x ) ?+ f（x﹚e（t﹚
彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=μCn（1-Cn），就是一个吸引子，是一个平庸吸引子和奇怪吸引子并存的复合吸引子。（详见第四章﹚
2.6.6、自组织
之一章已经介绍了自然界普遍存在的自组织现象。对于复杂的混沌运动，也存在自组织现象，只是这种自组织现象具有一种貌似无序的高级有序性。有序，指存在多样、复杂、精细的无穷嵌套的多层次有序结构。高级，指貌似无序的混沌序。如，在逻辑斯蒂映射Xn＋1﹦λXn（1－Xn）中，当λ∞＜λ≤4时，进入混沌区<λ∞ ，4>，仍存在丰富的动力学規律（如图19﹚:
（1﹚、倒分叉现象。又称为倍周期树的混沌镜像（详见第五章﹚，即从右向左有一个nI逆序，这与3＜λ＜λ∞从左向右的nP顺序（倍周期树﹚成为一种以λ∞为纵坐标相对称的镜像﹔
（2﹚、周期口现象。即λ＞λ∞后大多是混沌，但也存在许多长度有限的小区间，在这些小区间内系统又恢复了有序的秩序，作倍周期运动，如当λ＝3.83附近存在一个肉眼也看得見的窗口 *** ，随着控制参数λ的逐渐增大，在窗口中又会重复原来的倍周期运动，只是尺寸更小，…，窗口中又有窗口，这些窗口正如前面所说的沙道夫斯基序列排列着，显示出高度周期口的有序性﹔
（3﹚、精细结构。当λ∞＜λ≤4时，进入混沌区，但出现无穷嵌套的多层次精细结构，这个精细结构有几个明显的特点: 无穷多层次﹔像俄罗斯套娃一样，相互嵌套﹔杂乱无章与窗口并存﹔类似无穷多个相同的版本，但尺寸越来越小﹔用计算机可绘制出精美的图像﹔…。
7、对称破缺
“对称破缺”（symmetry breaking inginstabilitie﹚。通俗地讲，它是对称的，又不完全对称，正如城市街道两边公交大巴的公共汽车站，既是对称的，又是对称破缺的，不完全对称。这个概念是20世纪80年代出现在物理学中，是一个比“对称”概念更具深刻理解的重要概念:
之一、对称性是相对的、有条件的，而不是绝对的、无条件的，适合于一切场合。古典的对称 *** 包括形象对称 *** 和抽象对称 *** 。形象对称 *** ，就是以一定的事实为依据，以对称理论作指导，运用形象思维构造出某些形象对称模型，如图象、符号、表格、…，以对宏现世界作出相应的对称预言。抽象对称 *** ，指不能用形象对称性而要求事物抽象性质完全对称。如，要研究微观粒子的性质，量子力学中的德布罗依定律就是从对称性原理出发，用抽象对称法大胆提出来的。1924年正在巴黎大学攻读博士学位的法国物理学家德布罗依提交了一篇《量子理论的研究》的博士论文，论文十分简短，只有一页多纸，但却提出了一个波粒二象性公式（后称为德布罗依定律﹚
λ＝h/mγ
把代表波动性的波长λ和代表粒子性的质量m放在一个公式之中。他认为，在整个19世纪在光学上，比起波动的研究 *** 是过于忽略了粒子的研究 *** ，但在实验物理上，是否又把粒子的图像想象得太多，而过于忽略了波的图象。由于德布罗依深信这种不对称的抽象思维决不是客观事物所固有，于是他大胆地提出了存在物质波（后叫德布罗依波﹚的假设。6个论文评审委员会的3位教授表示反对，认为德布罗依没有任何实验依据，想象过分大胆，几近荒谬。但他的导师朗之万认为，德布罗依的想法有很大的独创性，可能包含了一些重要的东西，于是给爱因斯坦写了一封信。素来喜欢物理学上对称性的爱因斯坦，一下子就看出了德布罗依的理论的深远意义_揭示了光和物质粒子之间的对称性。他以“已揭开了巨大惟幕的一角”热情地复信给他的好朋友朗之万。1924年11月德布罗依顺利通过了论文答辩，获得了博士学位。1927年初，美国物理学家戴维逊在镍晶体对电子的衍射实验中，验证了物质波，证明了德布罗依公式的正确性。1927年德布罗依荣获了诺贝尔奖。因此，对称性曾被誉为崇高无高的科学美。
但是，1957年，美籍华人李政道和杨振宁发现了宇宙在弱相互作用下不守恒，因此荣获了诺贝尔奖，之一次打破了对称性原理的缺口。1964年，菲奇. 克罗宁等4人又发现了电子共轭_宇称不守恒，这一发现震动了物理学界。同时，粒子物理在SU（N﹚对称理论，包括SU（2﹚、SU（2﹚x、SU（1﹚、SU（3﹚、SU（5﹚等不断取得的理论成果，从而引进了破缺对称性的概念，1980年菲奇. 克罗宁等4人，因对CP不守恒的发现获得了诺贝尔奖。从此，对称性是相对的、有条件的理念在学术界得到共识﹔
第二、对称与破缺是互补的。对称，就意味着协变，在一定条件下的守恒和不变，而在一切条件下都不变的状态只能是静态结构。郝柏林院士说:“最对称的世界没有结构、组织和秩序” 《注26》“非对称创造了现状”（老居里P.Curie的名言﹚。破缺，是对称的破缺，只要有了破缺才会有变化，才会产生丰富多彩的自然现象和过程。自然界很多重大科学发现和发明都来自不对称性。爱因斯坦的狭义相对论是为了改变牛顿力学和电动力学对伽里略变換的不对称性而创立的，爱因斯坦的广义相对论是为了改造牛顿的引力定律，消除惯性系与非惯性系的不对称性，在惯性质量和引力质量的联系上找到突破口而创立的。事实上，物理学每前进一步都要经历着这样的过程: 首先遇到的是表面看来毫无相关的现象理论→透过现象找到它的共性和差异性→发现对称成分和不对称成分，特別是发现破缺的对称→建立在一定条件下的完全对称理论。这表明自然规律的对称是理想化了的抽象对称性，或者说自然界是由对称和非对称互补构成的。
对称破缺不仅存在于自然界“大爆炸”的宇宙和弱相互作用下宇称不守恒的微观世界，也存在于生物大分子中的左右对称破缺，存在于社会经济，大到 *** 组织、社会结构，小到社会生活中的交通，无不留下对称破缺的脚跡。郝柏林院士说:“车辆和行人要靠右行驰，是一种对称破缺，它限制了个人的‘自由’，却导致了有组织的交通流”“对称破缺是否仅限于时空对称感性有规律地減少? 能否破缺并不具有对称性，甚至看起来杂乱无章的‘有序’状态呢?近20年来数学和物理学的研究提供了大量的启示，说明这个问题在自然界中是非常普遍的现象”“引起对称破缺的基本原因在系统内部，导致破缺的细小事件在远离发生破缺的条件时是无足轻重，可以忽略的，但在破缺点上却起决定作用。” 《注26》
可见，对称破缺现象是混沌运动的一个重要属性，混沌作为一个有序与无序的统一体，对称破缺正是产生有序的原因。如，在彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=μCn（1-Cn）中，当μ＞3这个“阀门”以后，系统发生突变（分岔现象）而进入耗散结构状态，耗散结构对应于某种时空的有序状态，破坏了系统原有的时空对称性，出现了对称破缺现象。所以，郝柏林院士说:“有序是对称的破缺”《注26》 彩票的有序产生于对称破缺，彩票对称破缺产生于彩票系统的内部，产生于控制参数的“阀门”，所以要预测彩票就要理解对称破缺，掌握对称破缺产生的条件，选准“切入点”，把好“阀门”开关，使彩票预测永远置于“有序”部分。
8、有限性
混沌运动是局限于有限的而非无限的时空当中。有限，指混沌的轨迹或者说混沌吸引子局限于一个确定的区域，这个区域叫做混沌吸引域，无论混沌系统内部如何不稳定，它的轨线都被像一个磁铁一样被吸引域吸引，而不会走出混沌吸引域。
混沌运动的有限性，不仅表现在混沌吸引域上，还表现在混沌系统的状态变量、控制参数的有界性上，表现在区间到区间的迭代的有限区间上。如，逻辑斯蒂映射Xn＋1﹦λXn（1－Xn）
状态变量 x∈<0，1>
控制参数 λ∈<0，4>
区间迭代 <0，1> 到 <0，1>
同样，彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=μCn（1-Cn）
彩票密度 C∈<0，1>
控制参数 μ∈<0，4>
区间迭代 <0，1> 到 <0，1
混沌运动的有限性，还表现在重构任何一个相空间，也是有限的。如，对于r/s型乐透型彩票，被摇的s个彩球和摇出的r个彩球是有限的，由变量r按混沌时间序列重构的状态变量∑_(i=1)^3?x_i 、∑_(i=1)^5?x_i 、∑_(i=1)^8?x_i 、∑_(i=1)^13?x_i 、∑_(i=1)^21?x_i 、…也是有限的。
同样，对于任何一个彩号码相对应的某期n的涨落高度hn 总是存在一个涨落的上、下限，存在波峰和波谷，如果按混沌时间序列重构一个涨落的状态空间∑_(i=1)^3?h_i 、∑_(i=1)^5?h_i 、∑_(i=1)^8?h_i 、∑_(i=1)^13?h_i 、∑_(i=1)^21?h_i 、…也是有限的。而且从任一个状态空间演化到另一个的状态空间，也是有限的”。 即
∑_(i=1)^n?x_i →∑_(i=1)^(n+m)?x_i 、 Δ∑_n^m?x_i →Δ∑_n^(m^')?x_i
∑_(i=1)^n?h_i →∑_(i=1)^(n+m)?〖h_(i ) 、 〗Δ∑_n^m?h_i →∑_n^(m〖^'〗)?h_i
都是有限的。
（注: Δ∑_n^m?x_i ＝∑_(i=1)^m?x_i －∑_(i=1)^n?x_i 、Δ∑_n^m?h_i ＝∑_(i=1)^m?h_i －∑_(i=1)^n?h_i ﹚
根据混沌运动的有限性的这一属性，在彩票预测中我们可以对任何状态变量，大胆进行相空间重构，从多个角度建立多个以数据驱动的非结构预测模型，捕捉到更多的不同信息，增加杀号个数，減小投资风险，获得更大收益。
9、普适性
混沌运动的普适性，主要指一般的非线性系统中都存在两个类似园周率π、对数log_e?x中的底e、普朗克常数h、光速C、电子静止质量me、…等基本物理常数的2个费根鲍姆常数δ与α。基本物理常数，又叫普适常数。
创建混沌理论的一个重要标志，是费根鲍姆发现了两个普适常数。如（图18﹚《注图6》为逻辑斯蒂映射的两个示意图。2个费根鲍姆常数δ与α，指逻辑斯蒂映射倍周期分岔过程中, 前后分岔横向间距之间、纵向宽度之间的比值都各趋于一个常数δ﹦4.669201609…、α﹦2.502907875…。
即横向分叉间距数列Δ1、 、Δ2 、Δ3、 、…Δm、 、Δm +1、 、…、
δ＝Δm/(Δm+1) →4.669201609…
纵向分叉宽度数列 ε_1、ε_2、ε_3、…、ε_m、ε_(m+1)、…
α＝ε_m/ε_(m+1) →2.50297875…
费根鲍姆在《洛斯阿拉莫斯科学》杂志上谈到他的发现时说:“我原来从二次函数Xn＋1﹦λXn（1－Xn）做起的，经过一段时间的研究，我发现了系统周期保持是怎样发生的，我只用我的可编简单程序的袖珍计算器，现在看来计算器工作得是很慢的，当周期是64的时候，差不多一个鐘头才能做一个循环，当周期进一步倍增时，花的时间就更多了，幸亏我很快领悟到，分叉间距应当是几何收敛的，这使我能从上一个分叉点就预计到下一个分叉点的大概位置，从而提高了试验效率，我之所以成功，就是因为我头一个领悟到几何收敛”。可见，混沌运动自组织的发现，只赋予有“几何收敛”准备头脑的人，也不知倾注了多少科技工作者的日日夜夜!
费根鲍姆常数δ与α不是一般的普通物理常数而是具有普适性的基本物理常数，因为普通物理常数只与个别的物质或体系的特殊性质有关，没有普适性。如，××的密度、比热、…。而基本物理常数常出现在物理学的基本理论之中，是基本物理方程中的基本物理常数，如普朗克常数h和光速c，分别为普朗克量子论E＝hγ和爱因斯坦质能关系E＝mc2 基本物理方程中的基本物理常数﹔还有一类基本物理常数描述某一个领域并具有普适性。如，微现世界领域的电子、质子质量、电子电荷，代数领域的自然对数的底数e，几何领域的周周率π，…。
费根鲍姆为了验证费根鲍姆常数δ与α的普适性，又对许多非线性函数进行迭代试验，发现都得到完全相同的结果，他最后结论，非线性函数中分岔横向间距之间、纵向宽度之间的比值都各趋于一个常数δ﹦4.669201609…、α﹦2.502907875…，这并不是巧合，而是物理学中的基本物理常数，是与π、e、me、 mp …等价的自然界的普适常数。费根鲍姆常数δ与α的重大发现，使费根鲍姆荣获了诺贝尔奖。
彩票的逻辑斯蒂映射Cn+1=μCn（1-Cn）自然也存在这两个常数。
10、统计性
混沌运动的主要特征都是由奇怪吸引子表现出来，而奇怪吸引子的存在又使得混沌系统的轨迹表现出一定的规律性，这些规律性既可用功率谱、李雅普诺夫指数等混沌特征量表现出来，又可用统计 *** ，对混沌运动的内随机性进行描述，就是说混沌运动具有统计性。下面从统计法和内随机统计性两个方面进行扼要的介绍。
人类的统计实践活动己有五千多年历史，而统计理论只有300多年的历史。近代统计学说产生于18世纪末到19世纪末的100多年间。现代统计学为20世纪到现在，特别是20世纪60年代以后，数理统计迅猛发展，并表现出以下特点:
（1﹚、数理统计越来越广泛地应用数学 *** 。所以彩票混沌预测，对一般彩民而言，至少应掌握“加減乘除四则运算、解方程、几何作图、直角坐标法” 和一般小型计算器的使用﹔
（2﹚、数理统计学的分支或以数理统计为基础的边缘学科不断形成。彩票混沌预测涉及数学、物理、金融、心理学、预测学、 *** 论、计量学和哲学等多学科领域，应把自己培养成为复合型人才﹔
（3﹚、计算机的诞生和应用，数理统计学的作用日益加强。有条件的的彩民，应使用计算机进行计算、制表、绘图、建立数据库和计算实验甚至摸拟实验等。
一般的统计 *** 具有以下三个特点:
（1﹚、数量性。数量决定于质量，要寻找混沌运动一切可能的运动状态，一定要保证遍历性要求的50～70次迭代的下限要求。因混沌现象是一种非大数现象，绝不是统计次数越多越准确，而是与遍历性、统计对象和精确度有关﹔
（2﹚、总体性。统计研究的对象不是个体现象的数量方面，而是由许多个体现象的总体的数量方面（涌现性﹚。目前彩票市场上普遍运用的单个彩球的走势统计，对彩票的预测作用不大﹔
（3﹚、具体性。统计所研究的量是具体的量，不是抽象的数量。统计对象必须具体。彩票的预测对象要具体到摇奖机摇出的r个中奖号码，而不是末摇出的（s-r﹚个非中奖号码。不少彩票书籍或讲座、资科，把被摇的全部彩球s个或（s-r﹚个中的奇数、偶数，大数、小数，余数、尾数等作为具体研究对象，白白浪费了不少时间。
统计分析中常用的基本 *** 有以下两种:
（1﹚、大量观察法。就是对现象的总体（或足够多﹚进行大量观察和分析的统计 *** 。例如，如果以年为单位对双色球的红球与篮球分别进行整体统计，会发现红球的涨落温度比篮球高而篮球的涨落强度比红球大，所以篮球比红球更容易预测﹔
（2﹚、综合分析法。可分为动态分析法、抽样分析法、相关分析法、回归分析法与指数分析法等。目前彩票市场上多采用频数分布中的钟形分布法。钟形分布法的特点是“两头小，中间大。” 即靠近中间的变量值分布的次数多，靠近两端的变量值分布的次数少。用这种 *** 一般最多预测1～2个红球中奖号码。因为靠近中间的热号多，逐渐向两端由热变冷。然而摇奖机摇出的彩号码，一般每期红球的热号1～3，冷号1～2个，温号2～4个，这是彩票的非周期性所决定的。彩票的综合分析，应根据内随机的特点，进行动态分析（如第n-1期→第n期﹚、抽样分析（如按混沌序列抽样﹚、相关分析法（如重号、连号分析﹚、回归分析（如近期有偏小循环回归、区间回归﹚、指数分析（如走势和景气分析﹚、克隆分析（如x与h的克隆﹚等。
总之，混沌运动的内随机统计，应与外随机统计严格区分开来，否则会出现很多貌似内随机的外随机统计，搅乱了预测视线，甚至作出错误的预测。
为了对混沌和混沌运动的概念、术语、属性、条件、机制和规律有更深刻、更形象的理解，我们分析一种人们最常见的酒店午会现象。首先，酒店午会系统中每一个元素（午伴）与外界（酒店）要进行能量（售午票、買午票）和信息（午会开始和结束時间等）的交換，这是一个开放的系统。人们在有规律而美妙节奏的乐谱声中翩翩起午，每个午伴的运动都离不开乐谱这个确定系统的制约，因此酒店午会的系统是一个确定性的系统。午会开始,每一个元素（午伴）都要离开平衡位置（原位置）进行一左一右、一上一下的非直线涨落运动，每对午伴在午场中的轨迹与另一对或任意一对的相互作用和轨迹是非线性的，永不相交（不发生碰撞）、永不重复。任何一对午伴与其他午伴在午池中的相对位置也是非线性的，所以酒店午会是一个由有限元素（午伴）组成的非线性系统。任何一对午伴的之一个午姿是第二个午姿的自变量，第二个午姿又是第三个午姿的自变量，…即是说, 任何前一个午姿总是后一个午姿的自变量，而后一个午姿正是前一个午姿根据一定的乐谱迭代出來的，所以每个午伴的午姿变換实际上是一种迭代运算模式。整个午池相当于一个吸引域，凡想跳午的午伴必被午池这个吸引域吸引而进入午池（吸引域），凡已进入吸引域（午池）参加跳午的一定不会离开午池（吸引域），只当午会暂停休息或结束，这个开放的具有吸引域的确定系统才不复存在，吸引域自然消失。酒店午会的短期（几天、几个月）的消失（暂停午会）和产生（开啓午会）是可预测的（酒店通知、营业时间），但长期（几年或几十年）是不可预测的，因几十年后酒店是否存在或改行并不知道。对于每场午会，所有午伴在午池（吸引域）内的运动轨迹都受到控制参数（音乐的乐谱、节奏）的调节，并且从整体上看,运动轨迹不会超越午池的空间和午会的时间，因此酒店午会这个系统整体上是稳定的, 但是对于局部（一对午伴或一部分午伴在每一个角落或午池中的任一个局部区域）是不稳定的。所以酒店午会这个系统是局部不稳定而整体稳定的。
那么, 酒店午会是不是存在混沌现象呢? 可以说午会开始或开始后的一段时间，每一对午伴刚离开平衡位置，并未远离平衡位置或与乐谱还不够协调或还没有全身投入，所以不存在混沌现象。只当每一对午伴远离平衡位置足够远，系统的能量耗散（电能、声能、体能，特别是午伴、指挥、伴奏、伴演者的体能耗散）十分强烈，每对午伴完全进入“午迷”状态, 午伴运动的频率、振幅与音乐美妙的节奏达到高度的统一和协调，不受任何一些微小的干搅（如1、2箋电灯突然熄灭或几个电风扇、空调停运，…）而改变，就是说酒店午会系统的每一个元素远离平衡，相互之間的非线性相互作用进入非线性区，音乐谱的控制参数达到某个“阀门”，这时运动与节奏高度统一协调，产生了一幅最浪漫而优美的画卷（奇怪吸引子），耗散结构这一自组织现象在无穹的涨落中产生，混沌这个有序与无序的统一体自然形成。
酒店午会中混沌现象的产生敏感地依赖于初始条件。酒店午会的初始条件, 如午伴的素质、伴奏的水平、乐器的质量、午厅的豪华程度、酒店的软件服务和硬件设施等。 每个酒店这些初始条件是不同的； 同一个酒店午会每一场的初始条件也存在微小的差异, 如每场午伴不尽相同, 跳午的质量自然不同, 如果午伴全是初学者或部分午盲或实习伴奏员, 午场的午姿会越跳越乱, 甚至发生相互碰撞（轨道相交）, 混沌现象不可能发生。相反, 如果进场的全是专业午蹈演员和國家级交响乐团, 午姿会越跳越优美, 一个午蹈与乐谱高度协调、美妙的音乐与优美而浪漫的画卷（具有耗散结构的奇怪吸引子）展现在人们的视野, 混沌这个有序与无序的统一体在优美的乐曲声中诞生。
耗散结构随乐谱的频率（声音高低）、振幅（声音大小）和分频（泛音）的不同，产生多种相互嵌套的层次, 酒店午会系统究竟处于哪一个层次是随机的, 这种随机性是系统内部自发产生的内禀随机性, 又称内随机性，或伪随机性。多层次耗散结构在吸引域（午池）中所产生的一幅幅美麗的画卷，实际是相空间中各非周期轨道的分形点集。換句话说，在酒店午会的午池（吸引域）中这些分形点集展现在人们眼前的一幅幅浪漫而美麗的画卷，就是酒店午会的奇怪吸引子。所以奇怪吸引子是酒午会产生混沌现象最形象、最生动的几何空间的描述。奇怪吸引子的质量, 直接反射出酒店午会的质量，所以不同的酒店午会，奇怪吸引子也不同, 研究了不同酒店奇怪吸引子的性质, 便可揭示出不同酒店开放的程度、硬软件设施、午伴质量、伴奏的水平以及午会的质量和效果。
酒店午会的混沌现象，進一步验证了科学家们的断言：混沌现象像春天的桃花一样普遍，只要理性的觸角伸向哪里，哪里就能发现，哪里就有混沌。
雅石图鉴匮要_“混沌”在现代汉语词典里“混沌”的含义，特指中国的神话传说中，关于宇宙形成以前的模糊一团时候的景象。后来又引申之义为糊里糊涂，无知无识的样子。
其实在华夏之人文的古代神话典籍中，以及后来关于此词语的内涵及外延的最新解读，“混沌”还应该有许多其它的含义。
在《庄子·应帝王》中，有记载曰:“南海之帝为儵，北海之帝为忽，中央之帝为浑沌，儵与忽相与遇于浑沌之地，浑沌待之甚善。儵与忽谋报浑沌之德，曰：‘人皆有七窍，以视听食息，此独无有，尝试凿之。’日凿一窍，而混沌死。”
此文中的“浑沌”即“混沌”之意。故事的大意是：南海有一帝，名字叫儵。北海有一帝，名字叫忽。中央有一帝，名字叫浑沌。儵和忽经常一起到浑沌家聚会，每次浑沌都殷勤招待他们。
所以儵和忽商量怎么报答浑沌的招待，说：“人都有七窍，用来看、听、吃饭和呼吸，唯独浑沌没有，我们帮他凿出七窍来吧。”于是，儵和忽每天帮浑沌凿出一窍，七天凿了七窍，但是凿完七窍浑沌却死了。
这则神话故事的记载，可谓创世之“混沌”，其实还包含了开天辟地的含义。华夏之古人们认为，这个众生万物世界，是从“混沌”中被一刀刀凿出来的。
又有一则关于神兽“混沌”的神话故事被记载在《神异经·西荒经》中:
“昆仑西有兽焉，其状如犬，长毛四足，似熊而无爪。有目而不见，行不开，有两耳而不闻，有人知往。有腹无五脏，有肠直而不旋，食物径过。人有德行而往抵触之，有凶德则依凭之。天使其然，名为‘混沌’。空居无为，常咋其尾，回转仰天而笑。”
此神话大意是说：昆仑西有一只野兽，长得像狗又像熊，浑身长毛，有四条腿却没有爪子。有眼睛却看不见，有耳朵却听不见，走路脚迈不开，但却知道别人要去哪里。有肚子却没有五脏，肠子是直的，食物直接从里面滑过。它遇到有德行的人就抵触他，遇到凶悍无德的人却又摇头摆尾依靠他。平时自己没事的时候，就咬自己的尾巴，旋转着，仰天哈哈大笑。
被记录在《山海经·西次三经》中又有关于帝江之“混沌”的文字:
“天山有神鸟，其状如黄囊，赤如丹火，六足四翼，浑敦无面目，是识歌舞，实为帝江也。”
该神话大意是说，天山有一个神兽，身子像布袋一样，颜色像火一样红。它长有六个脚和四个翅膀。脸上没有眼睛鼻子嘴，但是却精通歌舞。它的名字叫帝江。
有些现代文化学者们研究认为，该神话故事中的“帝江”就是“帝鸿”，也就是“中央天帝”。而在《庄子》中，“中央天地”就是“混沌”。所以天帝就是“混沌”的说法，也同时得到了很多学者的认同。
在这个辛丑年之“重阳节”的前二天，一个无比殊胜之日，这位豫南决水之滨的“史河无我居士”，于《我的青花我的瓷》之个人杂文随笔文集中，在《雅石图鉴匮要》为主题系列里，介绍一下本人收藏的，这一枚产出于决水之源的雅石_“混沌”。
该雅石形为卵状，质地杂混石英、水晶、黄蜡石以及石僵等，色彩以黄、红为基调，杂揉其过渡色，纹路丰富而凸凹，有口、眼、鼻、耳之天然造型于石体表，其包浆完整、厚实，手感压沉且舒适，韵味无穷而又难以言喻！
综上所述，在中国的古代神话中，由此可见“混沌”，不仅仅是指世界形成之前的模糊一团的状态。
它同时也是指被凿出七窍的创世的神“混沌”，是天山的神兽“帝江”，是昆仑之西的像狗又像熊的野兽。当然了，时至今日，也应该是这一枚称呼为“混沌”的雅石啊！
云吞是广东的一道美食，源于北方的“馄饨”，传入岭南时因“馄饨”与“云吞”的粤语发音相近，又取其“一口一颗”的意思，广东人逐渐把“馄饨”称为“云吞”，并有自己独特的风格。在肇庆市高要区有一种特色云吞，名为“塱鹤云吞”，因其皮薄、个小、鲜香，早已美名扬四方，今天我们一起来寻味美食、寻觅舌尖上的乡愁。
塱鹤云吞中的“塱鹤”是一条村的名字，位于高要区白土镇。塱鹤云吞近乎透明的面皮裹着鲜香的肉馅让不少食客吃过番寻味，于是一传十，十传百，现已声名在外。在塱鹤村，有不少村民从事云吞经营，邻近的村民也纷纷拜师学艺，传承塱鹤云吞的 *** 技艺，使得塱鹤云吞店广泛分布在肇庆、广州和佛山等地。塱鹤云吞还被评为“高要区十大特色美食（名菜）”，成为响亮的地方品牌。
塱鹤云吞
“当年，挑着担挑去塱鹤圩卖云吞....”
▲白土镇塱鹤村村民杨志文（中）向记者讲述当年 *** 塱鹤云吞的故事。
9月16日，记者寻味地道高要美食来到了白土镇塱鹤村，见到了塱鹤云吞 *** 技艺的“元老级”人物——85岁的杨志文。据杨伯介绍，最早 *** 云吞的是三位在外做厨师的乡亲，他们学到了做云吞的技巧，回来就传授给了本家族的兄弟，慢慢就传承开了。
塱鹤村村民杨志文说：“有说法是在广州学的，也有说法是在福建。孖记、何东、南记这几位是最早做云吞的老师傅。我是跟何东学的，那个时候，一个煤炉，一副担挑就可以做生意了。当年，挑着担挑去塱鹤圩卖云吞，很受欢迎呢。”
杨伯口中的三位最早 *** 云吞的老人已经辞世，杨伯也没有再经营云吞了，儿子曾经在肇庆开设塱鹤云吞店。回想起在那个物质匮乏的年代，做上一碗热气腾腾的云吞，让乡亲们满足味蕾，杨伯至今仍津津乐道。
塱鹤村村民杨志文说：“我半夜就要起来打皮了，塱鹤云吞之所以这么好吃，就是因为云吞皮是手打的，很筋道，要打几个小时呢，擀好皮天就亮了，我和老伴就担着出去塱鹤圩卖。看着乡亲这么爱吃，辛苦也是值得的。”
▲白土镇塱鹤村旧圩，现为一片荒地。（以上三图罗祺俊 摄）
塱鹤旧圩已经换了新址，但这片萧条的空地依然能让人浮想联翩。听着杨伯的述说，眼前仿佛浮现起当年的“墟冚”，乡亲们在热闹的圩日里，站着或坐着，手捧一碗云吞，捞起一匙放到嘴边吹着热气，嘻哈谈笑间享受着美食。
塱鹤村村支书蔡友坚说：“夸张说一句，我几乎是吃云吞长大的，小时候特别馋云吞，那个时候一碗云吞5毛钱，经常盼着圩日，圩日热闹、父母会买云吞回来吃。”
久留村村民吴女士说：“小时候能吃上一碗云吞很兴奋的，因为那个时候卖云吞的人是走村卖的，我们几个小伙伴走上半小时就是为了吃一碗云吞，还会带一个搪瓷口盅去买回家呢。”
▲塱鹤云吞皮薄如蝉翼，皮虽薄却韧，可用牙签挑起而不掉下。罗祺俊 摄
塱鹤云吞更大的特点
就是皮薄。
把云吞皮铺到书本上，
就像一张临摹纸般透明，
字体清晰可见。
*** 塱鹤云吞的手艺人
追求的是细致、认真，
竹升打面的时间要足够，
粉蛋配比要精准，
据说一斤面粉至少放三颗鸡蛋或鸭蛋，
让面团弹性爽口而不失香滑，
每一个步骤都不能“偷工减料”。
一直以来，
塱鹤云吞的馅料都非常“专一”，
从不作花巧的尝试，
只有一种猪肉馅。
肥瘦适中的猪肉，
再配以炒香的芝麻，
塱鹤人坚信
简单食材才最永恒。
而对于汤底，
手艺人也从不含糊，
选用上好的猪骨配以大地鱼提鲜，
汤水清香扑鼻，
使云吞食之不腻。
“老板，来一碗云吞....”
塱鹤圩日常~
▲塱鹤村村民习惯吃上一碗云吞来开启一天的生活。罗祺俊 摄
“老板，来一碗云吞....”成了本土村民的日常。
在小小的塱鹤圩，目前有3家云吞店，都是老字号店铺，有的已经开了几十年了，杨建兴是一位较为年轻的经营者，他跟杨伯的儿子学艺后就开了这家店，他说，经营云吞不但是一门生意更是一种传承。
塱鹤圩云吞店经营者杨建兴说：“做云吞其实很辛苦，做的都是街坊生意，赚不了几个钱，但这么受欢迎的美食，必须要传承下去，看到乡亲们来店里吃云吞、聊家常，觉得很开心。”
“传统要传承，技术也要与时俱进.....”
家乡以云吞这道美食而闻名，让从小吃云吞长大的廖仕能也坚定了开云吞店创业的决心，他们夫妻俩在高要南岸城区经营着一家塱鹤云吞店，至今已有12个年头了，见证着塱鹤云吞在传承中的微妙变化。
南岸城区云吞店经营者廖仕能说：“传统要传承，但技术也要与时俱进。现在已经很难做到纯人手打面了，因为涉及到产量和卫生问题，人手打面产量有限，满足不了需求，而且打面作坊不能开风扇，汗水容易污染到面团。”
▲面团被放进打面机里反复拉压，经过8道工序，最后切割成近乎透明的面皮。罗祺俊 摄
既要解放人力，又不能影响口感，为追求人与科技的完美结合，廖仕能5年前多次前往省外寻访合适的打面机，回来进行改良。此外，还要从面粉筋度、配比上进行调整，保证云吞的口感一贯爽滑，保持塱鹤云吞的美誉度。
“想吃一口云吞，说到底就是惦记家乡的味道....”
▲高要南岸城区某云吞店经营者平姐在煮云吞。罗祺俊 摄
经过几十年的发展，塱鹤云吞早已走出了乡村，不但开到了南岸、肇庆，还开进了省城。现在，在广州、佛山等大城市都可以看到塱鹤云吞店的招牌。高要南岸城区某云吞店经营者平姐介绍，很多客人坐下来对她说，越离家越想家，看到塱鹤的招牌仿佛“亲人”就在身边。“想吃一口云吞，说到底就是惦记家乡的味道....”一言道尽了游子对塱鹤云吞的依恋。
▲晶莹剔透的塱鹤云吞让人垂涎欲滴。程晴 摄
晶莹剔透的云吞在
清透的汤汁里浮沉，
碧绿的葱花点缀其中，
轻咬开肉馅，满口留香！
随着“噱”一声，
“纱裙”滑入口腔！
滚水入锅，盛出一碗思乡，
家的味道，才是人间美味！
来源：高要发布
?荐读 | 仇瑛：一碗馄饨正月初七深夜，仇庄的人们已进入甜蜜的梦乡，妻子突然右下腹剧痛，直冒冷汗。我一再征询妻子，看能不能撑到天亮，而她在昏迷之中孱弱地摇着头，连说话的力气都没有了。眼看情况越来越不妙，情急之下，我拨打了县医院的120。
从初四午后开始下雪，飘飘洒洒没有消停，路上已结了厚厚的冰。约一小时后，救护车终于赶到了。我和弟弟将虚弱无力的妻子抬到车上，按着她的头部和后背缓缓平躺下后，就关上车门，守在妻子身旁，和医护人员一起朝县城方向赶去。
路上覆冰很严重，我在车上能明显感觉到车轮在不停地打滑。这种极端天气，如果没有万不得已的事情，绝没有人会冒险出行。公路两旁黑得伸手不见五指，只有车灯的一束强光探着路面，黑暗飞一般向后闪去。
好不容易赶到了医院，妻子被抬下车，由医护人员搀扶着坐在轮椅上，很快就推进了急诊科检查室。经过仔细检查，值班医生给出初步诊断结论：急性阑尾炎发作。当天夜里只能应急处理一下，等明天上班后再决定治疗方案。
当天夜里，大夫给妻子用了应急的药物，她的疼痛慢慢缓解了下来。第二天一早，当大夫征求是否同意手术时，她想放弃。我左右为难。保守治疗吧，万一再次发作，情况可能比这次更严重；而动员妻子决定手术吧，身体要挨一刀，于心不忍。毕竟这是身体上开刀的事情，不是儿戏。伤了元气不说，单就那疼痛，妻子到底能不能撑下来呢？况且一旦做了，好歹也要在床上躺上十天半个月，孩子放学后连顿热乎饭也吃不上了。
就这样纠结着，在医院里耗去了一上午的时间。中午，我在 *** 里与岳父商量，他的主张是如果诊断无误，还是趁这次机会实施手术，彻底根治，迟早得做，长痛不如短痛。至于手术后的陪护，他让岳母先过来帮忙照顾一段时间。于是我就给妻子做起动员工作。起先她好歹不肯，经过我一番苦口婆心的劝说，才终于勉强答应。商量已定，我将意见给主治大夫说了。这是一位擅长阑尾炎手术的年轻人，姓刘，说话很利索，他将手术时间安排在次日上午。
决定手术那天下午的时间比较充裕，除了为明天的手术做一些必要的准备之外，难得好好放松一下心情。我决定领着妻子找一家比较好的馆子，让她在手术之前好好吃一顿。
无奈，几乎所有的饭馆都在关门。我和妻子走过了紫荆北街，又往另一条南街巷子走去。在一个拐角处，终于看见了一家开门的羊肉泡馆子，却被告知还未营业。我们又转了另外好几条街，就在几乎失去耐心时，才发现了一家卖馄饨的馆子，就不假思索地走了进去。
这是一间宽敞雅致的面馆，店面收拾得很整齐，餐桌板凳擦得干干净净。店老板是非常热情的中年夫妇，我们一进门就迎了过来，满脸微笑着招呼，问想吃什么。我和妻子顿时有种宾至如归的感觉。我说，你这里不是只卖馄饨么？老板娘立即说，还有其它的面食。我问妻子想吃什么，她说随便吧，反正也没什么胃口。
我向老板要了两碗馄饨。
妻子补充说，给她来个小碗。
不料老板娘从后厨出来，说刚才几个人也全要了馄饨，差不多卖完了。已包好的馄饨只能煮一碗，再做已经没馅了，要不换成其它的面食。这时妻子却坚持要吃馄饨，说很长时间没有吃过了，想吃。
我说，那就先来一碗馄饨吧。
很快，一大碗馄饨就端了上来。我看到紧俏的馄饨褶皱清晰可见，面皮极薄，晶莹剔透，仿佛能看见里面包的馅儿来。馄饨上面撒了一圈芫荽和葱花，点了几滴香油，热气腾腾的，味道很诱人。那碗里的馄饨，活像一尾尾透明的金鱼，悄悄儿将头挤在一起，鱼尾匀称地散开，在荷叶装点的白瓷碗里沿里圈拼成好看的圆形图案，仿佛一群鱼儿潜在一撮绿藻丛间，在窃窃私语，或在嬉戏。她们似乎在彼此打赌哪一个“同伴”会被率先夹起来送进嘴巴。
妻子被这一碗馄饨弄得心思细密起来，迟迟不忍下箸。我也被这瞬间的感动搅得柔肠百结，心生爱怜而不忍催促，就这么静静地看着，仿佛欣赏着一碗精美的艺术品，我宁愿一直这么欣赏下去。
“再要一只碗，给你分一半吧，我吃不完的。”妻子柔声说。
“你吃吧，我不饿的。”我轻轻说。
我将这碗馄饨小心翼翼地端到妻子面前，平生之一次略显殷勤地说：“趁热吃吧，尝尝合不合你的口味。”
她仿佛被我的举动惊到了，竟有点儿不适起来，脸上随即闪过一丝儿苦笑，眼里好像有泪花儿在飘。我瞥见她悄悄地别过脸去。
就在动起筷子时，妻子先将一只馄饨夹起，喂进我的嘴里。我轻轻地一咬，只觉得皮脆馅嫩、汁液四溢、满嘴留香。
妻子怀孕时，我的心没有这么柔软过，那时还真的不懂温柔；她生完孩子躺在床上，我没有这么温柔过，认为那是一个妻子应尽的义务，天经地义；她陪着岳父看病，病情不容乐观，情绪低落时，我也没有这么体贴地安慰过，心想毕竟不是自己的亲爹；母亲弥留之际，她泪眼婆娑，我也不为所动，以为只是助哭而已，远没有我这般撕心裂肺、动情太深……
但是这次，却不比寻常。我深知，吃完这碗馄饨，妻子明天将要经历的手术，堪比她生命中的一次灾难，躲是躲不过了，谁也替代不了，只有她独自咬牙承受了。我突然觉得自己是多么的孱弱和无能，在妻子遭遇的灾难面前竟然如此束手无策。但我又能怎样呢？除了不痛不痒、默默地安慰妻子外，我还能替她做点什么呢？我不能替她去挨这一刀，不能替她忍受剧痛的折磨，不能为她做哪怕一点点实质性的事情……我忽然发现自己多么的无力，像个多余的人。在妻子面前，所有的言语都忽然变得苍白、没有意义起来。我虽然在表面上不断地给她打气，可我的内心深处比谁都更加担心和恐慌。毕竟，她是我风雨同舟近二十载的妻子啊，而且还是两个孩子的母亲，她不能有半点的闪失！
妻子看我神情凝重，反倒安慰起我来了。
“不用怕，医生说，阑尾炎切除手术，是所有手术中的小手术。”妻子尽量平静地说。
对于明天将要进行的手术，其实不是我并不明白。只是，再小、再轻的手术，都有难言的疼痛，都伴有一定的风险，毕竟也是手术呀。何况，有哪个大夫在病人家属面前会夸大病情呢？他们总是竭力克制，将重大的说小，把小的说得更小，从而减轻患者和家属的心理负担，缓解一下他们紧张的情绪。
我没有再要一只碗，默默地看着妻子吃完这碗馄饨，然后走过去结账。在店家热情的送声里，我们走出了面馆，走上冷冷清清的新年的长街，朝县医院的方向走去。
作者简介：仇瑛，男，汉族，甘肃省庄浪县人。现供职于国网甘肃省电力公司庄浪县供电公司。作品散见于《飞天》《脊梁》《诗歌月刊》《扬子晚报》《甘肃日报》《中国电业》《中国电力报》《平凉日报》《长江诗歌》等。
责编：周燕霞
饺子还是馄饨，明显不同，古人咋还分不清？这还要从它的来历说起我是棠棣，一枚历史爱好者。欢迎大家【关注】我，一起谈古论今，纵论天下大势。君子一世，为学、交友而已！
长期以来，我国人民在过春节期间，还有一项极为要紧的活动，就是家家户户都尽力 *** 各种美食；有的还得给各种神仙上供，其实人们敬神是虚，主要是在经过了一年的辛勤劳动之后，想借此机会酬劳一下自己。而积久成俗，乃至吃什么，怎么吃，都有特定的含义和讲究了。我国广大人民群众春节期间的之一美食，应属饺子。
1、饺子还是馄饨？
饺子，称谓很多，古时有“牢丸”、“馄饨”、“饺耳”、“粉角”、“扁食”、“水饽饽”、“水点心"等许多名称。现在，北方人一般称“饺子”或“扁食”，南方有些地方则仍称“馄饨”或“水点心”。究其历史，饺子和馄饨原本是“一家人”。
饺子，是我国人民独创的一种美食，历史十分悠久。根据古籍记载和出土文物证明，至少在汉代末年，就已成为当时人喜食的佳品了。不过那时还不叫饺子，而叫“馄饨”，当时也不是煮了吃，而是蒸着吃，类似今天的蒸饺。但也有称为“饺饵”的。
如在《正字通》中还有这样的记载：“今馄饨，即饺饵别名，俗屑米面为之，中空里馅，类弹丸形，大小不一，笼蒸啖之。”
可见明末清初时各地对饺子和馄饨仍称法不一，有的则混为一谈。北方饺子和馄饨“分家”，看来时间还稍晚一些。
有的文史资料记载，早在南北朝时，饺子就已成为“天下通食”，看来也不夸张。如现在中国历史博物馆里陈列的饺子，就是在新疆吐鲁番唐代古墓中发掘出来的，其形状和今天北方的饺子一模一样。
这证明，早在一千多年前，饺子不仅已在中原成为“天下通食”，而且随着丝绸之路传到了西域，成了当地人的美食。否则，人们是不会把它作为随葬品的。
据古籍记载，唐代的饺子已经五花八门，非止一种，一碗饺子中，有的就有二十四个不同的花样和馅料的，滋味甚美。现在西安仿唐宴上以各种饺子组成的宴席，都是有籍可查的。
这说明在唐代之前，吃饺子的风气已经盛行。到宋代，尤其是南宋小朝廷，因“错把杭州作汴州”，只图享乐之风在官员中十分盛行，影响所及，民间也滋长了吃喝之风，因而饺子这一美食进一步得到发展。当时的饺子不仅花样更加繁多，而且荤素俱备，既有各种肉类和海鲜馅的饺子，也有包上“椿根”和“简蕨”馅的素饺子。贵家吃的饺子“一器凡十余色”，有“百味馄饨”之称，民间吃的饺子也越来越讲究。
至清代，情况也是同样。像北京致美斋的饺子(当时仍称馄饨，并且连汤吃喝)，就是饮誉京师内外的。有一首《竹枝词》赞道：
“包汤馄饨味胜常，馅融春韭嚼来香；汤清润吻休嫌淡，咽后方知滋味长。”
2、饺子还是“饺饵”？原来有故事
饺子何时成为民间春节定不可少的美食，其说不一。一般说法是始于明代，这是有据可考的。不过，照有些民间传说那可就早得多了。有些传说很有趣，这里顺便作些介绍。
一说始于古代名医张仲景。据说，他是河南洛阳人氏，在长沙做官回来的路上，已值腊月，天寒地冻，见许多穷人为了生计还在拼死拼活奔波，有的冻伤很重，有的连耳朵都冻烂其至冻掉了。
他十分同情他们，又精通医术，就用几味祛寒生热的药，和羊肉，辣椒一起煮了，切碎之后用面皮包成耳朵一样的东西，称为“娇耳”，给他们连汤一起吃。他将这种药食称为“祛寒娇耳汤”。人们吃下去浑身发热，两耳生暖，冻伤也就好了。张仲景还把这种药的配方告诉了人们。人们都学着做，后来发展成食物，因其名曰“祛寒娇耳汤”。因其形又似耳朵，故人们就称它为“饺饵”或“饺子”了。人们为了感激这位名医，所以一进腊月，特别是到年三十，就包饺子祭奠他，自己也吃了御寒。积久成俗，饺子就成了人们春节必食的佳品。
一说古代有个皇帝，一心想长生不老。有个叫潘奇的大臣说如果每顿饭都不一样，吃上一百天就可以长生不老。怕死的皇帝采纳了这个意见。这下子可难坏了御厨苏巧生。
他绞尽脑汁想法子改变花样给这个皇帝做吃的，一直做到了九十九样，他再也想不出新花样了。这天正赶上过年，他知道今天要是做不出新玩意，难免被定为“欺君之罪”，自己连年也活不过去的。他气没处出，就持刀乱剁案板上的羊肉和白菜、大葱、生姜等。
剁着剁着忽然闻出一股清香味儿。他灵机一动，又加上好些佐料，用面皮包上，煮熟之后端给了皇帝。皇帝一尝，十分可口，很高兴，问他叫什么饭。苏巧生脑子也来得快，见包的这种吃食像耳朵，就顺口说道：“饺饵。”
据说，人们一方面为了纪念这位名厨，另方面也喜欢这种小吃，所以每年春节都包“饺饵”吃。
3、吃饺子的现实说法
以上传说虽有牵强附会之嫌，但却可见人民群众扬善惩恶之意。另外还有些说法更近乎情理，就是古人过春节时所以吃饺子，是既要饱口福，又想讨个吉祥如意，特别是大年三十晚上这顿饺子，讲究可就多了。
旧时，按天干地支计时，半夜一过亥时就交子时。除夕子时是新的一年的最初时刻，据说这时吃了饺子，和表示“开张大吉，万事如意”的意思一样，一年到头会有口福。因为这个时辰正交子时，所以就称为吃“饺子”(和“交子"谐音)。
还有说法是，饺子形似古时的银元宝，一年开始的时刻肚里就装满“元宝”，取个一年之中财源茂盛之意。另外和一些迷信习俗也不无关系，因为古时有人相信一交子时，万神下界，是万万不能动刀切菜的。煮上一锅饺子，既可以敬神，表示用更好吃的东西迎接他们，又免得动这动哪，使诸神不安。还有，自己守岁玩累了，煮包好的饺子吃，也省事。可谓一举数得。
人们春节期间吃饺子，还有许多意在安慰自己、图个吉祥的做法。如把一些象征吉利的东西放在馅里包上，如铜钱、花生、栗子桂圆、糖块等皆是。吃到有铜钱的饺子的人，预示新的一年要发财；吃到有花生的饺子的人，预示长寿(花生又名长生果)；吃到栗子饺子的人，预示多子多孙(栗子与“立子”谐音)；吃到桂圆的人，预示富贵团圆；吃到糖块的人，预示日子过得甜蜜。
大年除夕一家人团圆坐在一起，吃着热气腾腾的饺子，不管谁吃到代表什么吉祥的东西，大家都快乐地祝贺一番。一顿饺子，把春节的喜庆气氛推向 *** ，难怪这一习俗久传不衰。
春节期间吃饺子，在北方最为普遍，这可能有个很实在的原因，就是北方气候较寒，事先把饺子包上很多，可以放在阴凉处冻起来，就是不冻也坏不了；饺子可随煮随吃，方便省事，使人们便于拿出更多的时间去走亲访友，游玩取乐。
（正文完）
如果有其他关于历史领域的话题或观点可以【关注】我私聊，也可以在下方评论区留言，之一时间回复。
对称性-大自然的秩序与混沌－作者简介－
郑煜辉，理论物理所2019级博士生
导师：舒菁研究员
研究方向：粒子物理与量子场论
对称是日常生活中随处可见的现象。比如各种建筑的左右对称，篮球和足球的球对称，它们都展现了一种和谐的统一感。这些人造物的对称性源自于自然界中本身存在的对称性。仿佛造物主也欣赏这种美感，并将其传递给我们。不仅仅是在人造物上，人们在总结自然规律时也喜欢添加对称性，因为这样的理论通常更加简洁、优雅，并帮助科学家们预测新的现象。在本文中，我们将带大家了解物理学中我们喜欢研究的各种对称性。
最基本的当然要数物理规律的空间平移不变性和时间平移不变性了。空间平移不变性指的是，我们同时在北京和纽约进行同一个实验，在排除了所有外部干扰的情况下，实验结果应该是一样的。毕竟对于广阔的宇宙而言，北京和纽约只是地球上的两个点，几乎不可能存在完全不同的物理规律。同样地，时间平移不变性也是如此，苹果早上会落下，中午也会落下，晚上同样如此。这些是最基本的原理，因为如果不满足这些条件，我们研究的自然规律将毫无意义。这也是《三体》一书中为什么人们认为物理学不存在的原因。当然，如果真的出现这种情况，科学家们可能会感到更兴奋而不是绝望，因为观测和研究对称性被破坏也是一项伟大且重要的成就。
除此之外，绝大部分的自然规律被认为具有空间反射对称性和时间反演对称性。空间反射对称性指的是物理规律在空间左右翻转的变化下保持不变，就好像我们通过镜子观察实验和直接观察实验得到的结果应该是一致的。这很符合直觉，如同我们日常中见到的很多建筑和物品一样，设计成左右对称非常有美感。
然而，在1956年的实验中，发现某些弱相互作用的过程并不满足空间反射对称性，这就是著名的由杨振宁和李政道发现的宇称不守恒现象，他们因此获得了诺贝尔物理学奖。
时间反演对称性则更加抽象一些，它表示物理规律在时间反向行进的方向上与正向行进是相同的。例如，我们拍摄一个球的抛物线运动并倒放录像，球的运动轨迹应与正常时间下的运动相一致。然而，在很多物理系统中，这个对称性可能会被破坏。最为人所知的例子是热力学中的不可逆过程，即热力学第二定律：一个封闭系统的熵总是增加的。最初，人们认为这两个重要的对称性是绝对的。但随着对自然认知的深入，我们也发现越来越多的例外情况，这为科学家们提供了更多的研究方向和挑战。
我们都知道，原子的内部结构是由若干个电子绕着原子核旋转组成的，这类似于宇宙中行星围绕恒星旋转形成星系，小星系围绕黑洞旋转形成大星系。
这展现了一种共形对称性，即我们对系统进行等比例缩放后，发现它们具有相同的形态。虽然不同尺度之间的相似性并非普遍存在的规律，但这启发了科学家们在某些系统中引入共形变换以带来有趣的性质。例如，在20世纪后期，数学家们通过迭代和自相似性发展出了分形几何学，如图所示。
分形具有复杂的形状，同时又表现出局部与整体的一致性。这种特殊的结构在自然界中也有所发现，包括山脉、云朵、雪花等形状。分形成为我们理解自然界复杂性的有力工具和框架。
假如我们能够深入微观的物理世界，我们将看到构成这个世界的基本粒子。其中，费米子构成了物质，而玻色子则在物质之间传递相互作用。我们知道，每种粒子都有相应的反粒子（尽管有一些例外，反粒子就是它们自身）。当正粒子与反粒子相遇时，它们会一起湮灭并释放能量。
粒子和反粒子具有相同的质量和自旋，但一些内禀属性完全相反，比如电荷，这就是粒子-反粒子对称性。这些属性与一些守恒定律密切相关，比如在正粒子和反粒子的生成和湮灭过程中，电荷的总量保持不变。基于此，科学家们认为宇宙中正物质和反物质的量应该是相等的，但从目前人类观测到的宇宙来看，并非如此。正粒子比反粒子丰富得多，这严重破坏了粒子-反粒子对称性。这种对称性破缺的机制可能源自宇宙早期的超高温环境，但目前仍然是一个未解之谜。
后来，物理学家们想追求一种对称性更高的体系，他们认为将费米子和玻色子统一起来会更加自然。这就是粒子物理中的超对称。
超对称变换可以把费米子变为玻色子，把玻色子变为费米子。每种粒子都有其超对称伴侣，并互为玻色子和费米子。虽然目前为止该理论还没能在任何实验中被观测到，但这超凡的想法引起了粒子物理学家们的广泛兴趣，因为它确实具有解决标准模型中存在的一些问题的潜力，比如暗物质问题，并为我们理解宇宙本质提供新的看法。
科学家们研究对称性是因为对称性使理论更简洁和优雅。理论中的对称性越多，就意味着越多的约束条件和越少的独立解释自由参数，符合奥卡姆剃刀原理带来的指导建议：在解释自然现象时，应该尽量避免引入不必要的假设。除此之外，对称性还有着更直接的物理意义，那便是由20世纪初数学家数学家艾米·诺特提出的诺特定理，它的核心思想是，每一种对称性都对应着一个守恒量。
换句话说，当物理体系具有某种对称性时，必然存在一个与之对应的物理量守恒。比如说上文提到的物理规律在时间平移变换下不变，那么根据诺特定理，就必然可以推导出这个世界是能量守恒的，能量就是时间平移变换对应的物理量。而我们高中与大学学到的动量守恒则是源自于物理系统的空间平移不变性，角动量守恒源自于空间旋转不变性，电荷守恒源自于粒子物理中的规范不变性（这个的理解难度较高，就不在本文讲述了）。诺特定理揭示了物理规律背后的深层结构，它的应用非常广泛，涉及各种物理领域，包括经典力学、量子力学、电动力学等等。通过诺特定理，我们可以从对称性的角度解释为什么一些物理量在系统中保持不变，并且可以通过对称性的研究来预测新的守恒量的存在。
虽然我们探索了许多对称性，但并不是所有对称性都始终存在。当系统不再展现某种对称性时，我们通常称之为对称性破缺，描述了系统本身具有对称性，然后对称性被破坏的现象。举个例子，我们抛硬币，抛掷前我们知道硬币正面和反面朝上的概率都是50%，这可以视为一种对称性。然而，当硬币抛掷后重新落回手上，如果此时正面朝上，那么正面朝上的概率就变为100%，而反面朝上的概率变为0%，这就是对称性破缺。对称性破缺同样也有直接的物理意义，那便是于1961年提出的戈德斯通定理，它讲述的是当连续对称性（由连续变换导致的对称性，如平移，旋转）破缺时，必然产生若干个无质量的玻色子，称为戈德斯通粒子。在粒子物理学模型中，破缺规范对称性会导致戈德斯通粒子被其他粒子所吸收，从而获得质量，这就是用于解释质量起源的希格斯机制。
对称性破缺机制可以带来更丰富多样的现象，在不同领域中起着关键作用。
高度对称性的理论固然美丽，这样的理论描述的世界也很单调，我们现在的宇宙如此多姿，就是因为对称性破缺的过程。建立理论的时候，先设定对称性再破坏对称性，会自然地引入新的自由度和模式，这比一开始就不引入对称性而直接引入这些自由度的过程更加自然和令人信服。这些都是数学家和物理学家们的重要工具。对称就像是秩序，对称性破缺就像是混沌，一边赋予了物理规律的有序性和协调性，另一边则是无序性和复杂性，我们的宇宙不会是任意一个极端，而是一个精妙且平衡的结合，同时存在着对称性和对称破缺的元素。在宇宙的早期，高能量条件下的对称性主导着物理规律，使得宇宙表现出高度对称的特征。但随着宇宙的演化，温度逐渐下降，对称性破缺开始发挥作用。这种对称性破缺的过程是逐渐而平稳的，它塑造了我们所熟悉的物质、力量和结构。宇宙中存在的对称性破缺是多样的。有些对称性破缺是局部的，发生在特定的空间区域或特定的物理系统中。例如，在晶体中，局部对称性破缺导致了不同的晶格结构和性质。而有些对称性破缺则是全局的，涉及到整个宇宙范围。例如，在宇宙膨胀的过程中，全局对称性破缺导致了宇宙结构的形成。正是对称性和对称性破缺之间的微妙平衡，赋予了我们的宇宙以丰富的特征。这种平衡使得宇宙中存在着各种规律、结构和现象，同时保持着一定的有序性和无序性。它让我们能够欣赏到宇宙的多样性和复杂性，同时也让我们能够理解和研究宇宙的基本规律。
图片源自 ***
转载内容仅代表作者观点
不代表中科院物理所立场
如需转载请联系原公众号
来源： 中国科学院理论物理研究所
原标题：Doctor Curious 46: 对称性-大自然的秩序与混沌
编辑：见欢
